1. Giới thiệu về biểu diễn hàm số trong không gian Oxyz

Trong chương trình toán học lớp 12, việc biểu diễn hàm số trong không gian$Oxyz$không chỉ giúp chúng ta hình dung được hình dạng của các đồ thị hàm số bậc nhất, bậc hai hay các dạng bề mặt, mà còn là nền tảng quan trọng để hiểu sâu hơn về hình học không gian, giải tích không gian, cũng như định hướng ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật và các lĩnh vực khoa học khác.

2. Định nghĩa: Biểu diễn hàm số trong không gian$Oxyz$

Biểu diễn hàm số trong không gian$Oxyz$là quá trình mô tả một hàm số ba biến hoặc một quan hệ giữa ba ẩn$x, y, z$dưới dạng hình học trong hệ trục tọa độ không gian$Oxyz$.

• Đối với hàm hai biến: Hàm số $z = f(x, y)$biểu diễn một mặt trong không gian$Oxyz$.
• Đối với phương trình chứa ba ẩn$F(x, y, z) = 0$thì tập hợp các điểm$(x, y, z)$thỏa mãn tạo thành một mặt hoặc đường trong không gian.

3. Các bước biểu diễn hàm số trong không gian$Oxyz$

Để biểu diễn một hàm số trong không gian$Oxyz$, thường tiến hành các bước:

• Bước 1: Viết phương trình hàm số dưới dạng$z = f(x, y)$hoặc$F(x, y, z) = 0$.
• Bước 2: Xác định tập xác định của hàm số (các giá trị $x, y$thích hợp).
• Bước 3: Tìm các điểm đặc biệt (giao với các trục hoặc mặt phẳng toạ độ, đỉnh, tâm đối xứng…).
• Bước 4: Dựng bảng giá trị, chọn một số điểm tiêu biểu.
• Bước 5: Vẽ đồ thị hoặc hình minh họa trong hệ trục$Oxyz$.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Biểu diễn mặt phẳng$x + 2y - z = 3$trong không gian$Oxyz$.

• Bước 1: Viết lại dưới dạng$z = x + 2y - 3$.
• Bước 2: Tìm các giao điểm với trục toạ độ:
  - Cho$y = z = 0 \Rightarrow x = 3$(Điểm$A(3, 0, 0)$)
  - Cho$x = z = 0 \Rightarrow y = 1.5$(Điểm$B(0, 1.5, 0)$)
  - Cho$x = y = 0 \Rightarrow z = -3$(Điểm$C(0, 0, -3)$)
• Bước 3: Nối ba điểm$A$,$B$,$C$trong không gian$Oxyz$ được một tam giác trên mặt phẳng.

Ví dụ 2: Biểu diễn mặt cầu$(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 16$.

• Tâm$I(1, -2, 3)$, bán kính$R = 4$.
• Trong không gian$Oxyz$, các điểm cách$I$một khoảng$4$tạo nên mặt cầu.

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi biểu diễn

• - Mặt phẳng: Phương trình$ax + by + cz + d = 0$.
• - Đường thẳng: Dùng tham số
  $$\begin{cases} x = x_0 + at \\y = y_0 + bt \\z = z_0 + ct \\\end{cases}$$
  với$t \in \mathbb{R}$.
• - Mặt cầu:$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.
• - Ngoài ra còn các dạng mặt trụ, mặt nón, mặt parabol,...

Lưu ý: Khi vẽ, học sinh nên chú ý xác định đúng chiều các trục, tỉ lệ giữa các đơn vị để hình vẽ hợp lý nhất.

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Việc biểu diễn hàm số trong không gian$Oxyz$liên quan chặt chẽ tới các khái niệm cơ bản như tọa độ điểm, véc-tơ, khoảng cách, góc giữa các đường/thẳng, mặt phẳng và ứng dụng giải tích một cách trực quan.

Trong giải tích, mặt$z = f(x, y)$có hình dạng là một bề mặt mà giá trị tại mỗi điểm$(x, y)$ được xác định bởi$z$. Khái niệm này cũng là tiền đề để học các công đoạn tích phân bội 2, bội 3 trong giải tích không gian.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm$M(2, -1, 0)$và song song với mặt phẳng$x + y + z = 1$.

Giải:
- Do hai mặt phẳng song song, nhận cùng vectơ pháp tuyến$(1,1,1)$.
- Dạng phương trình mặt phẳng đi qua$M$:

Vậy phương trình mặt phẳng là $x + y + z = 1$(trùng với mặt phẳng đã cho, nên cần kiểm tra lại). Nếu$d <br /> \neq 1$, ví dụ $x + y + z = d$với$d$ để phương trình cắt qua$M$, ta thế $x=2, y=-1, z=0$vào:
$2 -1 + 0 = d \Rightarrow d = 1$. Vậy mặt phẳng qua$M$và song song với$x + y + z = 1$là $x + y + z = 1$.

Bài 2: Viết tham số đường thẳng đi qua$A(0,1,2)$và song song véc-tơ chỉ phương$(2, -1, 3)$.

Lời giải:
Dạng tham số:

Bài 3: Cho mặt phẳng$P: 2x - y + 2z = 5$. Tìm giao điểm của$P$với các trục toạ độ.

- Giao với$Ox$:$y = z = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = 2.5$; Điểm$A(2.5, 0, 0)$.
- Giao với$Oy$:$x = z = 0 \Rightarrow -y = 5 \Rightarrow y = -5$; Điểm$B(0, -5, 0)$.
- Giao với$Oz$:$x = y = 0 \Rightarrow 2z = 5 \Rightarrow z = 2.5$; Điểm$C(0, 0, 2.5)$.

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm thứ tự các trục toạ độ dẫn đến vẽ sai hình.
• Tính sai giao điểm với các trục hoặc các mặt phẳng toạ độ.
• Nhầm lẫn dạng phương trình giữa đường thẳng (tham số) và mặt phẳng (tổng quát).
• Không xác định đúng tâm, bán kính khi biểu diễn mặt cầu.

Để tránh sai sót, học sinh nên đọc kỹ đề bài, vẽ hình nháp đồng thời kiểm tra kỹ từng bước làm.

9. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Biểu diễn hàm số trong không gian$Oxyz$là kỹ năng quan trọng, giúp hình dung trực quan về các đối tượng hình học.
• Nắm vững các phương trình đặc trưng: mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu, bề mặt hàm hai biến.
• Thành thạo sử dụng công cụ vẽ hoặc hình dung ba chiều giúp giải toán nhanh và chính xác.
• Luôn kiểm tra lại các bước tính toán, đặc biệt khi xác định giao điểm hoặc tham số.

Học tốt biểu diễn hàm số trong không gian$Oxyz$sẽ hỗ trợ đắc lực cho các phần khác như: xác định giao tuyến, giải phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu, cũng như tích phân, hình học giải tích không gian, và chuẩn bị bước đầu cho các ứng dụng toán học cao cấp hơn.