Biểu diễn vectơ bằng ba vectơ đơn vị i, j, k – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

Giới thiệu về biểu diễn vectơ bằng ba vectơ đơn vị i, j, k

Khi học Toán lớp 12 và đặc biệt là phần hình học không gian – vectơ, biểu diễn một vectơ trong không gian bằng ba vectơ đơn vị i, j, k là kiến thức nền tảng, giúp các em dễ dàng giải các bài toán tọa độ trong không gian Oxyz. Việc biểu diễn này không chỉ giúp tính toán nhanh chóng, mà còn là ngôn ngữ cơ bản để học về tích vô hướng, tích có hướng, phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng, và mở rộng sang vật lý, kỹ thuật.

Định nghĩa: Thế nào là biểu diễn vectơ bằng ba vectơ đơn vị i, j, k?

Trong hệ trục tọa độ không gian Oxyz, ta xác định ba vectơ đơn vị:

• $\vec{i}$là vectơ đơn vị theo phương trục Ox:$\vec{i} = (1; 0; 0)$
• $\vec{j}$là vectơ đơn vị theo phương trục Oy:$\vec{j} = (0; 1; 0)$
• $\vec{k}$là vectơ đơn vị theo phương trục Oz:$\vec{k} = (0; 0; 1)$

Mỗi vectơ $\vec{a}$trong không gian (với tọa độ $(a_1; a_2; a_3)$) có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính:

$<br />\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}<br />$

Giải thích đầy đủ từng bước với ví dụ minh họa

Giả sử có vectơ $\vec{a}$có tọa độ $(3; -2; 5)$trong hệ Oxyz. Ta sẽ biểu diễn$\vec{a}$theo ba vectơ đơn vị i, j, k như sau:

$<br />\vec{a} = 3\vec{i} - 2\vec{j} + 5\vec{k}<br />$

Ý nghĩa:
-$3\vec{i}$:$\vec{a}$có thành phần 3 đơn vị theo trục Ox,
-$-2\vec{j}$:$\vec{a}$có thành phần -2 đơn vị theo trục Oy (tức là ngược hướng Oy),
-$5\vec{k}$:$\vec{a}$có thành phần 5 đơn vị theo trục Oz.

Tổng quát, nếu một vectơ $\vec{v}$có tọa độ $(x; y; z)$thì:

$<br />\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}<br />$

Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Nếu vectơ song song với trục Ox:$\vec{a} = a_1\vec{i}$(tức là $a_2 = a_3 = 0$)
• Nếu vectơ nằm trong mặt phẳng Oxy:$\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j}$($a_3 = 0$)
• Có thể có hệ số âm hoặc 0 tùy thuộc hướng và độ lớn của từng thành phần.

Lưu ý: Dấu của các hệ số chỉ hướng của vectơ theo trục: dương cùng chiều, âm ngược chiều.

Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Biểu diễn vectơ bằng$\vec{i}$,$\vec{j}$,$\vec{k}$là nền tảng để áp dụng các phép toán sau:

• Cộng, trừ hai vectơ: cộng/trừ từng thành phần theo$\vec{i}$,$\vec{j}$,$\vec{k}$.
• Tích vô hướng (dot product):$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$
• Tích có hướng (cross product): áp dụng quy tắc định thức với$\vec{i}$,$\vec{j}$,$\vec{k}$.
• Tính độ dài (mô-đun): $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$
• Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng trong không gian.

Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1. Cho vectơ $\vec{a}$có tọa độ $(2; -1; 4)$. Hãy biểu diễn$\vec{a}$bằng ba vectơ đơn vị $\vec{i}$,$\vec{j}$,$\vec{k}$.

Giải:

Áp dụng công thức:$\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}$

$\Rightarrow \vec{a} = 2\vec{i} - \vec{j} + 4\vec{k}$.

Bài 2. Hãy xác định toạ độ của vectơ $\vec{b} = -3\vec{i} + 5\vec{j} - 2\vec{k}$.

Giải:

Toạ độ của$\vec{b}$lần lượt là $(-3; 5; -2)$.

Bài 3. Cho hai vectơ $\vec{a} = 2\vec{i} - 3\vec{j} + \vec{k}$và $\vec{b} = 4\vec{i} + \vec{j} - 2\vec{k}$.
Tính$\vec{a} + \vec{b}$và biểu diễn theo$\vec{i}$,$\vec{j}$,$\vec{k}$.

Giải:

Cộng các thành phần tương ứng:

$<br />\vec{a} + \vec{b} = (2+4)\vec{i} + (-3+1)\vec{j} + (1-2)\vec{k} = 6\vec{i} - 2\vec{j} - \vec{k}<br />$

Bài 4. Tìm mô-đun của vectơ $\vec{v} = \vec{i} - 2\vec{j} + 2\vec{k}$

Giải:

$<br />|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3<br />$

Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn giữa thứ tự các thành phần: Luôn nhớ thứ tự $(x; y; z)$tương ứng với$\vec{i}$,$\vec{j}$,$\vec{k}$.
• Quên dấu âm: Khi có thành phần âm, phải ghi đúng dấu trong biểu diễn và khi cộng/trừ thành phần.
• Sử dụng hệ số cho nhầm trục: Đảm bảo$x$ đi với$\vec{i}$,$y$ đi với$\vec{j}$,$z$ đi với$\vec{k}$.

Tóm tắt – Những điểm chính cần nhớ

• Biểu diễn vectơ bằng ba vectơ đơn vị $\vec{i}$,$\vec{j}$,$\vec{k}$là cách viết vectơ theo ba phương của trục tọa độ.
• Luôn xác định đúng từng thành phần của vectơ.
• Công thức tổng quát:$\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}$với$\vec{i}$,$\vec{j}$,$\vec{k}$là các vectơ đơn vị theo trục Oxyz.
• Việc biểu diễn này tạo cơ sở cho các phép toán vectơ nâng cao.