Biểu diễn vectơ qua tình huống thực tế: Giải thích chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng của nó trong chương trình toán học

Trong chương trình Toán lớp 12, hiểu và vận dụng khái niệm vectơ là nền tảng để giải quyết các bài toán về hình học không gian, cơ học, điện từ học, ... Khả năng biểu diễn vectơ qua tình huống thực tế giúp học sinh liên kết lý thuyết với thực hành, tăng cường trực quan và phán đoán.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng của khái niệm

Vectơ là đại lượng có độ lớn và hướng. Trong mặt phẳng, một vectơ $[Ve][0m$có thể được biểu diễn dưới dạng cặp số $(x,y)$sao cho hướng và độ lớn của nó tương ứng với đoạn thẳng có hướng (mũi tên).

Cho hai điểm$A(x_1,y_1)$và $B(x_2,y_2)$. Vectơ $[Ve]\overrightarrow{AB}[0m$ được định nghĩa là:$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,\,y_2-y_1).$

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định tình huống thực tế. Ví dụ, di chuyển một vật từ vị trí $A$đến vị trí$B$trên bản đồ.

Bước 2: Gán hệ toạ độ cho bản đồ: chọn gốc$O(0,0)$, trục$x$theo hướng Đông, trục$y$theo hướng Bắc.

Bước 3: Ghi toạ độ của$A(2,1)$và $B(5,4)$. Khi đó vectơ chuyển dịch:

$\overrightarrow{AB}=(5-2,\,4-1)=(3,3).$

Nghĩa là vật di chuyển lệch 3 đơn vị theo Đông và 3 đơn vị theo Bắc.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Vectơ không có độ lớn:$<br />ulldots$vectơ không xác định tại cùng điểm đầu và điểm cuối; ký hiệu$[Ve]0[0m$.
- Hai vectơ cùng hướng hay ngược hướng: kiểm tra vectơ tỷ lệ.

Lưu ý: Không nhầm vectơ với đại lượng vô hướng; không hoán đổi trục toạ độ.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Giải tích: phép chiếu vectơ lên trục, tích vô hướng$\vec{a} \cdot \vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$.
- Hình học: xác định phương trình đường thẳng qua vectơ chỉ phương.
- Vật lý: vectơ lực, vectơ vận tốc.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Trên mặt phẳng toạ độ, người ta đi từ $A(1,2)$ đến$B(4,6)$rồi quay về $C(2,1)$. Tính tổng vectơ hành trình.

Giải:
- Vectơ $[Ve]\overrightarrow{AB}[0m=(4-1,6-2)=(3,4)$.
- Vectơ $[Ve]\overrightarrow{BC}[0m=(2-4,1-6)=(-2,-5)$.
Tổng hành trình:$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=(3-2,4-5)=(1,-1).$

Bài tập 2: Cho tam giác$ABC$với$A(0,0)$,$B(3,0)$,$C(1,2)$. Tìm trọng tâm$G$dưới dạng vectơ.

Giải:
Trọng tâm$G=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\frac{1}{3}((0,0)+(3,0)+(1,2))=\Bigl(\frac{4}{3},\frac{2}{3}\Bigr).$

Bài tập 3: Kiểm tra ba điểm$A,B,C$có thẳng hàng không khi biết vectơ $\overrightarrow{AB}=(2,3)$và $\overrightarrow{AC}=(4,6)$.

Giải:
Hai vectơ tỉ lệ:$\overrightarrow{AC}=2\,\overrightarrow{AB}$nên$A,B,C$thẳng hàng.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm thứ tự tính$(x_2-x_1)$thành$(x_1-x_2)$→ đổi hướng vectơ.
- Xác định hệ toạ độ không rõ ràng.
- Quên dấu trừ khi vectơ hướng ngược.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Vectơ mang hai thông tin: độ lớn và hướng.
- Biểu diễn qua toạ độ:$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$.
- Ứng dụng trong hình học và vật lý.
- Luyện tập với các bài toán thực tế để nắm chắc cách vẽ và tính toán vectơ.