Bài 3: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 12, khái niệm "Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ" đóng vai trò then chốt trong việc liên kết hình học và đại số. Thông qua biểu diễn vectơ dưới dạng tọa độ, học sinh có thể dễ dàng thực hiện các phép tính như cộng, trừ, nhân vô hướng và nhân với số thực trên các thành phần riêng biệt. Việc nắm vững biểu thức tọa độ giúp giải quyết nhanh các bài toán hình học phẳng, hình học không gian, đồng thời ứng dụng hiệu quả trong vật lý, cơ học và kỹ thuật.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng của khái niệm

Định nghĩa chính xác: Cho hệ trục tọa độ $Oxy$, mỗi vectơ $\vec{a}$trong mặt phẳng được biểu diễn dưới dạng cặp số $(a_1,a_2)$, trong đó $a_1$và $a_2$lần lượt là hoành độ và tung độ của vectơ. Tương tự, trong không gian ba chiều với hệ trục$Oxyz$, vectơ $\vec{a}$ được biểu diễn thành bộ ba$(a_1,a_2,a_3)$. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ thể hiện kết quả phép toán dưới dạng các thành phần số học.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

3.1. Phép cộng vectơ

Cho$\vec{a}=(2,3)$và $\vec{b}=(1,-1)$. Theo công thức cộng vectơ, ta có:$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2)=(2+1,3+(-1))=(3,2).$Ví dụ này minh họa cách cộng từng thành phần của hai vectơ.

3.2. Phép trừ vectơ

Phép trừ vectơ được biểu diễn bằng công thức:$\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,a_2-b_2).$Ví dụ với$\vec{a}=(2,3)$và $\vec{b}=(1,-1)$, ta tính:$\vec{a}-\vec{b}=(2-1,3-(-1))=(1,4).$

3.3. Phép nhân vectơ với số

Phép nhân vectơ với số thực$k$cho kết quả:$k\vec{a}=(ka_1,ka_2).$Ví dụ nếu$k=3$và $\vec{a}=(2,3)$, thì $3\vec{a}=(6,9)$. Phép toán này giúp thay đổi độ dài vectơ mà không làm thay đổi hướng.

3.4. Tích vô hướng

Tích vô hướng (dot product) giữa hai vectơ $\vec{a}=(a_1,a_2)$và $\vec{b}=(b_1,b_2)$ được định nghĩa là:$\vec{a} \cdot \vec{b}=a_1b_1+a_2b_2.$Ví dụ với$\vec{a}=(2,3)$và $\vec{b}=(1,-1)$, ta có $\vec{a} \cdot \vec{b}=2 \times 1+3 \times (-1)=2-3=-1$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Khi áp dụng biểu thức tọa độ của phép toán vectơ, cần lưu ý một số điểm sau:

- Vectơ là đại lượng có hướng và độ lớn, không phụ thuộc vào điểm đặt; tọa độ chỉ biểu diễn hướng và độ lớn tương đối trong hệ trục đã chọn.

- Phải đảm bảo cùng hệ tọa độ và cùng thứ tự thành phần khi thực hiện các phép toán trên vectơ.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ liên hệ chặt chẽ với nhiều khái niệm khác như: hệ tọa độ Đề–Cad, phương trình đường thẳng, mặt phẳng, đại số tuyến tính và giải tích nhiều biến. Trong hình học không gian, tọa độ vectơ là tiền đề để xác định phương trình mặt phẳng, đường thẳng và tính góc giữa hai vectơ.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho$\vec{a}=(3,-2)$và $\vec{b}=(1,4)$. Tính: a)$\vec{a}+\vec{b}$; b)$\vec{b}-\vec{a}$; c)$2\vec{a}-3\vec{b}$.

Lời giải: a)$\vec{a}+\vec{b}=(3+1,-2+4)=(4,2)$. b)$\vec{b}-\vec{a}=(1-3,4-(-2))=(-2,6)$. c)$2\vec{a}-3\vec{b}=(2 \times 3-3 \times 1,2 \times (-2)-3 \times 4)=(6-3,-4-12)=(3,-16)$.

Bài tập 2: Cho$\vec{a}=(2,1,3)$và $\vec{b}=(-1,0,4)$trong không gian$Oxyz$. Tính tích vô hướng$\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Lời giải:$\vec{a} \cdot \vec{b}=2 \times (-1)+1 \times 0+3 \times 4=-2+0+12=10$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn giữa phép cộng và phép trừ vectơ do viết sai dấu của thành phần.

- Thiếu dấu ngoặc đơn khi viết biểu thức tọa độ, dẫn đến hiểu nhầm thứ tự tính toán.

- Nhầm lẫn giữa tích vô hướng và tích có hướng (tích vectơ) khi chuyển sang không gian ba chiều.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Công thức cộng vectơ:$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2)$.

• Công thức trừ vectơ:$\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,a_2-b_2)$.

• Công thức nhân vô hướng:$\vec{a} \cdot \vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$.

• Công thức nhân vectơ với số:$k\vec{a}=(ka_1,ka_2)$.

• Vectơ 0:$(0,0)$và vectơ ngược:$-\vec{a}=(-a_1,-a_2)$.