Blog

Lớp 12

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

T
Tác giả
•
•4 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu về Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong chương trình toán lớp 12, tích vô hướng là một khái niệm nền tảng của chương "Vectơ và hệ tọa độ trong không gian". Việc hiểu rõ biểu thức tọa độ của tích vô hướng giúp học sinh giải quyết nhiều dạng bài toán về vectơ, hình học không gian, đồng thời tạo nền tảng vững chắc để học các môn tiếp theo như vật lý, hình học giải tích và các lĩnh vực ứng dụng khác. Biểu thức này còn xuất hiện thường xuyên trong đề thi đại học và kỳ thi tốt nghiệp.

2. Định nghĩa Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Giả sử hai vectơ trong không gian hai chiều (Oxy):a⃗=(x1,y1)\vec{a} = (x_1, y_1)và b⃗=(x2,y2)\vec{b} = (x_2, y_2), thì tích vô hướng của hai vectơ là:a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2Tổng quát trong không gian ba chiều (Oxyz), với:a⃗=(x1,y1,z1)\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)và b⃗=(x2,y2,z2)\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)thì:

a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2+z1z2\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Giả sử ta có hai vectơ trong không gian Oxy:a⃗=(2,3)\vec{a} = (2, 3),b⃗=(−1,4)\vec{b} = (-1, 4).
Áp dụng công thức:

a⃗⋅b⃗=2⋅(−1)+3⋅4=−2+12=10\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 = -2 + 12 = 10

Với không gian Oxyz, xéta⃗=(1,2,3)\vec{a} = (1,2,3),b⃗=(4,0,−1)\vec{b} = (4,0,-1):

a⃗⋅b⃗=1⋅4+2⋅0+3⋅(−1)=4+0−3=1\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot (-1) = 4 + 0 - 3 = 1

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

  • Nếu 2 vectơ vuông góc, tích vô hướng bằng 0:a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0.
  • Nếu 2 vectơ cùng phương, tích vô hướng đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất, phụ thuộc vào cùng hoặc ngược hướng.
  • Tích vô hướng có thể âm, dương hoặc bằng 0 tùy góc giữa hai vectơ.
  • Chỉ áp dụng được khi hai vectơ có cùng số chiều.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Tích vô hướng liên quan chặt chẽ tới góc giữa hai vectơ thông qua công thứca⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡φ\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \varphi, trong đó φ\varphilà góc giữa hai vectơ. Từ đây, nếu biết tích vô hướng và độ lớn hai vectơ, có thể tính được góc giữa chúng. Ngoài ra, tích vô hướng còn dùng để kiểm tra điều kiện vuông góc, song song, tính hình chiếu của một vectơ lên vectơ khác, chứng minh các đẳng thức hình học và giải các bài toán cực trị.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Choa⃗=(3,−2,1)\vec{a} = (3, -2, 1),b⃗=(1,0,4)\vec{b} = (1, 0, 4). Tínha⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b}.

a⃗⋅b⃗=3⋅1+(−2)⋅0+1⋅4=3+0+4=7\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 1 \cdot 4 = 3 + 0 + 4 = 7

Bài 2: Chou⃗=(2,−1)\vec{u} = (2,-1),v⃗=(4,2)\vec{v} = (4,2). Chứng minhu⃗\vec{u}và v⃗\vec{v}không vuông góc.

Bài 3: Tìm góc giữa hai vectơ a⃗=(1,2,2)\vec{a} = (1,2,2)và b⃗=(2,0,1)\vec{b} = (2,0,1).

a⃗⋅b⃗=1⋅2+2⋅0+2⋅1=2+0+2=4∣a⃗∣=12+22+22=9=3∣b⃗∣=22+02+12=5cos⁡φ=435⇒φ=arccos(435)\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2 + 0 + 2 = 4 \\
|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3 \\
|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{5} \\
\cos \varphi = \frac{4}{3\sqrt{5}} \Rightarrow \varphi = \\arccos{\left(\frac{4}{3\sqrt{5}}\right)}

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

  • Nhầm lẫn giữa tích vô hướng và tích có hướng.
  • Sai thứ tự các thành phần khi nhân (nhất là với vectơ 3 chiều).
  • Quên dấu âm ở toạ độ.
  • Áp dụng sai công thức khi số chiều hai vectơ không khớp.
  • Quên đặt−−khi nhân hai số có dấu trái nhau.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

  • Biểu thức tọa độ của tích vô hướng cho phép dễ dàng tính tích vô hướng khi biết các tọa độ.
  • Áp dụng công thức linh hoạt với vectơ trong không gian 2 chiều và 3 chiều.
  • Tích vô hướng giúp xác định quan hệ vuông góc, góc giữa hai vectơ, bài toán hình học.
  • Hiểu và tránh các lỗi phổ biến khi thực hiện phép tính.
  • Là kiến thức quan trọng trong các bài kiểm tra, ôn thi đại học và kỹ năng sống.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".