Cách giải bài toán Bài 2. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes lớp 12: Hướng dẫn chi tiết, ví dụ minh họa và mẹo luyện tập hiệu quả

1. Giới thiệu về bài toán công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Trong chương trình Toán lớp 12, chuyên đề xác suất được xây dựng rất thực tế và gắn liền với các bài toán ứng dụng đời sống. Trong số đó, "Bài 2. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes" là chủ đề trọng tâm trong kiểm tra, thi THPT quốc gia, học sinh giỏi và các kỳ thi quan trọng khác. Việc hiểu sâu về cách giải bài toán này giúp học sinh nắm chắc nền tảng tư duy xác suất hiện đại, rèn luyện tư duy logic và ứng dụng giải quyết các vấn đề thực tiễn.

2. Đặc điểm của bài toán về xác suất toàn phần và công thức Bayes

Các bài toán xác suất toàn phần và Bayes thường liên quan đến:

Những bài toán này thường ít khi hỏi trực tiếp mà thường "ẩn" dạng phân chia trường hợp hoặc liên quan đến thông tin điều kiện.

3. Chiến lược tổng thể khi tiếp cận bài toán

Để giải hiệu quả bài toán xác suất toàn phần và Bayes, học sinh nên làm theo các bước sau:

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

A. Áp dụng công thức xác suất toàn phần

Giả sử có các sự kiện$A_1, A_2,..., A_n$tạo thành một phân hoạch của không gian mẫu$S$, và $B$là một sự kiện bất kỳ. Khi đó:

Công thức xác suất toàn phần:

$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) +... + P(A_n)P(B|A_n)$

Ví dụ 1: Có ba hộp, mỗi hộp chứa 10 viên bi:
- Hộp 1 có 3 bi đỏ, 7 bi xanh
- Hộp 2 có 4 bi đỏ, 6 bi xanh
- Hộp 3 có 5 bi đỏ, 5 bi xanh
Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi lấy ra một viên bi. Tính xác suất lấy được viên bi đỏ.

Giải:

Gọi$A_1$,$A_2$,$A_3$lần lượt là các biến cố chọn hộp 1, hộp 2, hộp 3.
Biến cố $B$: lấy được bi đỏ.

Theo công thức xác suất toàn phần:

$P(B) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{4}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{5}{10} = \frac{3+4+5}{30} = \frac{12}{30} = 0,4$

B. Áp dụng công thức Bayes

Công thức Bayes giúp tính xác suất của nguyên nhân dựa trên kết quả đã biết.
Công thức tổng quát:

$<br />P(A_k|B) = \frac{P(A_k)P(B|A_k)}{\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)}<br />$

Ví dụ 2: Dùng lại ví dụ trên, nếu biết rằng đã lấy được một viên bi đỏ, hỏi xác suất viên bi này đến từ hộp 2 là bao nhiêu?

Giải:

Áp dụng công thức Bayes, ta cần tính$P(A_2|B)$:

$P(A_2|B) = \frac{P(A_2) P(B|A_2)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{4}{10}}{0,4} = \frac{\frac{4}{30}}{0,4} = \frac{4}{30} \div \frac{2}{5} = \frac{4}{30} \times \frac{5}{2} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3}$

Vậy xác suất viên bi đỏ vừa lấy đến từ hộp 2 là $\frac{1}{3}$.

5. Các công thức toán học và kỹ thuật cần ghi nhớ

- Công thức xác suất toàn phần:

$P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)$

- Công thức Bayes:

$P(A_k|B) = \frac{P(A_k)P(B|A_k)}{\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)}$

- Kỹ thuật sơ đồ cây xác suất: Mỗi nhánh thể hiện 1 trường hợp, giúp dễ hình dung và kiểm tra kết quả.
- Ghi nhớ phân tích phân hoạch: Các biến cố nền$A_1,..., A_n$phải là các biến cố phân đôi, rời nhau và có hợp là không gian mẫu.

6. Các biến thể bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể phổ biến:

Cách điều chỉnh chiến lược:
- Luôn xác định rõ các "nguyên nhân/chân dung" (biến cố nền) phù hợp dạng bài.
- Kiểm tra kỹ xác suất từng bước (chọn nguyên nhân, chọn kết quả...)
- Nếu không phải chọn đều, xác suất chọn mỗi trường hợp có thể phải tính toán riêng.

7. Bài tập mẫu minh họa có lời giải chi tiết

Bài tập mẫu:
Một xưởng có 3 máy sản xuất sản phẩm: Máy A sản xuất 30%, máy B 45%, máy C 25%. Xác suất sản phẩm loại 1 của máy A, B, C lần lượt là 0,9; 0,8; 0,95. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm:
a) Tính xác suất để sản phẩm đó là loại 1.
b) Nếu sản phẩm ấy là loại 1, xác suất để nó được sản xuất bởi máy B là bao nhiêu?

Giải chi tiết:
Gọi$A$– sản phẩm do máy A;$B$– do máy B;$C$– do máy C.
Gọi$L$– sản phẩm loại 1.

Ta có:
$P(A) = 0,3$,$P(B) = 0,45$,$P(C) = 0,25$
$P(L|A) = 0,9$,$P(L|B) = 0,8$,$P(L|C) = 0,95$

a) Xác suất để sản phẩm là loại 1:

$P(L) = P(A)P(L|A) + P(B)P(L|B) + P(C)P(L|C) = 0,3 \times 0,9 + 0,45 \times 0,8 + 0,25 \times 0,95 = 0,27 + 0,36 + 0,2375 = 0,8675$

b) Nếu sản phẩm là loại 1, xác suất do máy B sản xuất:

$P(B|L) = \frac{P(B)P(L|B)}{P(L)} = \frac{0,45 \times 0,8}{0,8675} = \frac{0,36}{0,8675} \approx 0,4151$
Vậy xác suất là khoảng 41,5%.

8. Bài tập thực hành tự luyện

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm thường gặp