Blog

Lớp 12

Chiến Lược Giải Bài Toán: Bài 3 – Đường Tiệm Cận của Đồ Thị Hàm Số Lớp 12

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

I. Giới thiệu về bài toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Trong chương trình Toán 12, bài toán xác định đường tiệm cận của đồ thị hàm số đóng vai trò then chốt trong khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Việc xác định đúng các loại tiệm cận giúp bạn hiểu rõ hơn về hình dạng, tính chất và giới hạn của hàm số. Đây là kiến thức nền tảng quan trọng, thường gặp trong các đề kiểm tra, đề thi học kỳ, và đặc biệt trong kỳ thi THPT Quốc gia.

II. Đặc điểm của bài toán đường tiệm cận

  • Bài toán yêu cầu xác định các đường thẳng (tiệm cận) mà đồ thị hàm số tiến lại gần nhưng không bao giờ chạm tới khixxtiến ra vô cực hoặc tiệm cận về một giá trị hữu hạn.
  • Chủ yếu gồm ba loại: Tiệm cận ngang, Tiệm cận đứng, Tiệm cận xiên.
  • Kết hợp kiến thức về giới hạn, đạo hàm, phân tích mẫu số và bậc của biểu thức.

III. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

  1. Tìm nghiệm đặc biệt của mẫu số để xác định tiệm cận đứng.
  2. Tìm giới hạn của hàm số khix→∞x \to \inftyhoặcx→−∞x \to -\infty để xác định tiệm cận ngang (hoặc xiên, nếu giới hạn không hữu hạn).
  3. Nếu không tồn tại tiệm cận ngang, xét giới hạn đặc biệt để tìm tiệm cận xiên.
  4. Vận dụng các công thức tính giới hạn, chia đa thức (nếu cần), kiểm tra bậc tử và mẫu.

IV. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

1. Xác định tiệm cận đứng

Tiệm cận đứng xảy ra tạix=ax = akhi hàm số không xác định tạix=ax=anhưngf(x)f(x)tiến về ±∞\pm \inftykhix→ax \to a.

Ví dụ: Vớiy=2x+3x−1y=\frac{2x+3}{x-1}, hàm số không xác định tạix=1x=1.Kiểm tralim⁡x→1−2x+3x−1=−∞\lim_{x \to 1^{-}} \frac{2x+3}{x-1} = -\infty,lim⁡x→1+2x+3x−1=+∞\lim_{x \to 1^{+}} \frac{2x+3}{x-1} = +\infty. Vậyx=1x = 1là tiệm cận đứng.
2. Xác định tiệm cận ngang

Tiệm cận ngang là đườngy=by = bsao cholim⁡x→∞f(x)=b\lim_{x \to \infty} f(x) = bhoặclim⁡x→−∞f(x)=b\lim_{x \to -\infty} f(x) = b.

Ví dụ:y=2x+3x−1y=\frac{2x+3}{x-1}, xétlim⁡x→∞2x+3x−1=lim⁡x→∞2+3x1−1x=2\lim_{x \to \infty} \frac{2x+3}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 2.
Vậyy=2y = 2là tiệm cận ngang.
3. Xác định tiệm cận xiên

Nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng 1, tìm tiệm cận xiên:y=ax+by = ax + bvớia=lim⁡x→∞f(x)xa = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x},b=lim⁡x→∞(f(x)−ax)b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - ax).

Ví dụ:y=x2x+1y = \frac{x^2}{x+1}
- Bậc tử =2= 2, bậc mẫu=1= 1, nên không có tiệm cận ngang, nhưng có tiệm cận xiên.
Tìmaa:
a=lim⁡x→∞x2x(x+1)=lim⁡x→∞xx+1=1a = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x(x+1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x+1} = 1
Tìmbb:
b=lim⁡x→∞(x2x+1−x)=lim⁡x→∞x2−x(x+1)x+1=lim⁡x→∞x2−x2−xx+1=lim⁡x→∞−xx+1=−1b = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^2}{x+1} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x(x+1)}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x^2 - x}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x}{x+1} = -1
Vậy tiệm cận xiên là đườngy=x−1y = x - 1.
Hình minh họa: Đồ thị hàm số y = x²/(x+1) với tiệm cận xiên y = x - 1 và tiệm cận đứng x = -1
Đồ thị hàm số y = x²/(x+1) với tiệm cận xiên y = x - 1 và tiệm cận đứng x = -1
Hình minh họa: Đồ thị hàm số y = (2x + 3)/(x - 1) với tiệm cận đứng x = 1, minh họa giới hạn bên trái lim x→1⁻ y = -∞ và giới hạn bên phải lim x→1⁺ y = +∞
Đồ thị hàm số y = (2x + 3)/(x - 1) với tiệm cận đứng x = 1, minh họa giới hạn bên trái lim x→1⁻ y = -∞ và giới hạn bên phải lim x→1⁺ y = +∞
Hình minh họa: Đồ thị hàm số <span class= y=\frac{2x+3}{x-1} với hai nhánh trên các khoảng x<1 và x>1, thể hiện tiệm cận ngang y=2y=2 khi x→∞x\to\infty " title="Hình minh họa: Đồ thị hàm số y=\frac{2x+3}{x-1} với hai nhánh trên các khoảng x<1 và x>1, thể hiện tiệm cận ngang y=2y=2 khi x→∞x\to\infty " class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />
Đồ thị hàm số y=\frac{2x+3}{x-1} với hai nhánh trên các khoảng x<1 và x>1, thể hiện tiệm cận ngang y=2y=2 khi x→∞x\to\infty

V. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Các điều kiện xác định tiệm cận:
    - Tiệm cận đứng: Tìmxxlàm mẫu số bằng 0, tử số khác 0.
    - Tiệm cận ngang: Xét giới hạn khixxtiến ra+∞+\infty,−∞-\infty.
    - Tiệm cận xiên: Bậc tử hơn mẫu đúng 1, tínhaavà bbnhư ví dụ trên.
  • Kỹ thuật chia đa thức khi cần rút gọn hàm số.
  • Kỹ năng tính giới hạn sử dụng quy tắc L’Hospital, phân tích đa thức.

VI. Biến thể bài toán & điều chỉnh chiến lược

  • - Hàm phân thức bậc cao (tử và mẫu cùng bậc, tử bậc cao hơn, mẫu bậc cao hơn)
    - Hàm căn thức, lượng giác: Dùng giới hạn và đạo hàm hợp lý.
    - Hàm chứa thông số: Suy luận điều kiện để tồn tại tiệm cận theo tham số.

VII. Bài tập mẫu giải chi tiết

Cho hàm số y=2x2+3x−1x2−1y = \frac{2x^2+3x-1}{x^2-1}
Bước 1: Xét tiệm cận đứng.
- Mẫu số x2−1=0⇔x=1x^2-1 = 0 \Leftrightarrow x = 1hoặcx=−1x = -1.
- Kiểm tra tử số: Tạix=1x = 1có 2.12+3.1−1=2+3−1=4≠02.1^2+3.1-1=2+3-1=4 \neq 0; tạix=−1x = -1,2(−1)2+3(−1)−1=2−3−1=−2≠02(-1)^2+3(-1)-1=2-3-1=-2 \neq 0
- Kết luận:x=1x=1và x=−1x=-1là hai tiệm cận đứng.

Bước 2: Xét tiệm cận ngang.
- Bậc tử = bậc mẫu (=2), giới hạn tạix→∞x\to\inftylà hệ số cao nhất chia nhau:
lim⁡x→∞2x2x2=2\lim_{x\to\infty} \frac{2x^2}{x^2} = 2
Vậyy=2y = 2là tiệm cận ngang.

Bước 3: Không có tiệm cận xiên vì bậc tử = bậc mẫu.

VIII. Bài tập thực hành

  1. Xác định các tiệm cận của hàm số y=x2−2x+2x−2y=\frac{x^2-2x+2}{x-2}.
  2. Tìm tiệm cận củay=3x−42x+1y=\frac{3x-4}{2x+1}.
  3. Khảo sát tiệm cận của hàm số y=x2+1x2−1y=\frac{x^2+1}{x^2-1}.
  4. Cho hàm số y=2x3+1x2+2y = \frac{2x^3+1}{x^2+2}, hãy xác định tiệm cận của đồ thị.

IX. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

  • Luôn kiểm tra điều kiện xác định để không bỏ sót tiệm cận đứng.
  • Phân biệt giữa tiệm cận ngang và xiên dựa vào bậc tử và mẫu.
  • Tính giới hạn cẩn thận khix→∞x\to\infty, tránh nhầm lẫn số hữu hạn hữu tỉ (nếu bậc bằng nhau) với số vô hạn (nếu tử lớn hơn mẫu).
  • Hàm căn thức hoặc lượng giác cần xét miền xác định trước khi tìm tiệm cận.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".