Cách giải bài toán Công thức Bayes lớp 12: Chiến lược tổng thể, ví dụ minh họa và luyện tập

1. Giới thiệu về bài toán Công thức Bayes và tầm quan trọng

Bài toán Công thức Bayes là một phần rất quan trọng trong chương trình xác suất lớp 12 và thường xuất hiện trong bài kiểm tra, thi THPT Quốc gia. Công thức Bayes giúp chúng ta cập nhật lại xác suất của một sự kiện khi đã có thông tin mới, đặc biệt hữu ích khi các sự kiện liên quan đến nhau qua các mối quan hệ điều kiện. Việc nắm vững cách giải bài toán Công thức Bayes là chìa khóa để học sinh tự tin với các câu hỏi xác suất có điều kiện, áp dụng vào giải toán thực tiễn, các lĩnh vực như thống kê, y học, kỹ thuật, kinh tế...

2. Đặc điểm của bài toán Công thức Bayes

• Các thành phần chính:

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán Công thức Bayes

• Đọc kỹ đề, xác định biến cố $A_1, A_2,..., A_n$và biến cố $B$.

4. Các bước giải bài toán Công thức Bayes – Ví dụ minh họa

Ví dụ minh hoạ: Một cửa hàng có 3 kho A, B, C. Có 30% hàng ở kho A, 20% ở kho B, 50% ở kho C. Tỉ lệ hàng tốt ở mỗi kho lần lượt là: kho A 99%, kho B 98%, kho C 97%. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm, biết nó là hàng tốt. Tính xác suất sản phẩm đó đến từ kho A.

Bước 1: Xác định biến cố

Gọi:$A_1$– sản phẩm từ kho A;$A_2$– sản phẩm từ kho B;$A_3$– sản phẩm từ kho C;$B$– sản phẩm là hàng tốt.

Bước 2: Xác định các xác suất ban đầu

• $P(A_1) = 0.3$,$P(A_2) = 0.2$,$P(A_3) = 0.5$

Bước 3: Tính xác suất để sản phẩm là hàng tốt ($P(B)$) – Công thức xác suất toàn phần

Ta có:
$P(B)$= P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3) = 0.3$\times$0.99 + 0.2$\times$0.98 + 0.5$\times$0.97 = 0.297 + 0.196 + 0.485 = 0.978

Bước 4: Áp dụng công thức Bayes tìm$P(A_1|B)$

$<br />P(A_1|B) = \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} = \frac{0.3 \times 0.99}{0.978} \approx 0.3038<br />$

Kết luận:

Xác suất sản phẩm là hàng tốt và đến từ kho A là khoảng$30.4\%$.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức xác suất toàn phần:
  $P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)$

6. Biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Chỉ có 2 biến cố phân hoạch: Công thức trở thành$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A})}$.

7. Bài tập mẫu có lời giải từng bước

Bài tập: Một lớp học có 40% học sinh nam, 60% học sinh nữ. Tỉ lệ học sinh giỏi ở nam là 20%, ở nữ là 30%. Chọn ngẫu nhiên một học sinh giỏi. Tính xác suất học sinh đó là nữ.

Giải chi tiết từng bước:

• Gọi$A_1$: học sinh là nam,$A_2$: học sinh là nữ,$B$: học sinh giỏi.

8. Bài tập thực hành

• Câu 1: Một nhà máy có 2 dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% sản phẩm, dây chuyền 2 sản xuất 40%. Sản phẩm đạt chuẩn ở dây chuyền 1 là 95%, dây chuyền 2 là 90%. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm đạt chuẩn. Tính xác suất sản phẩm đó từ dây chuyền 2.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Phân biệt rõ $P(A|B)$và $P(B|A)$: Đọc kỹ đề để xác định đúng yêu cầu.