Cách giải bài toán điều kiện để hai vectơ cùng phương hoặc vuông góc – Hướng dẫn chi tiết lớp 12

Tương đương với:

Trường hợp có thành phần bằng 0, cần xét kỹ biệt riêng từng yếu tố.

Ví dụ 1: Tìm điều kiện để hai vectơ cùng phương

Cho$\vec{u} = (2; k; 6)$và $\vec{v} = (1; 2; 3)$. Hãy tìm giá trị của$k$để$\vec{u}$và $\vec{v}$cùng phương.

1. Áp dụng điều kiện cùng phương:
   $\frac{2}{1} = \frac{k}{2} = \frac{6}{3}$
2. Ta có $\frac{2}{1} = 2$và $\frac{6}{3} = 2$.
3. Để các tỷ số bằng nhau:
   $\frac{k}{2} = 2 \implies k = 4$

Vậy với$k = 4$, hai vectơ $\vec{u}$và $\vec{v}$cùng phương.

4.2. Điều kiện để hai vectơ vuông góc

Hai vectơ $\vec{a} = (a_1; b_1; c_1)$và $\vec{b} = (a_2; b_2; c_2)$vuông góc khi tích vô hướng của chúng bằng 0:

Ví dụ 2: Tìm điều kiện để hai vectơ vuông góc

Cho$\vec{u} = (x; 1; -1)$và $\vec{v} = (2; -1; 1)$. Tìm$x$để$\vec{u}$và $\vec{v}$vuông góc.

1. Tính tích vô hướng:
   $\vec{u} \cdot \vec{v} = x \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 = 2x - 1 - 1 = 2x - 2$
2. Ta đặt$2x - 2 = 0 \implies x = 1$.

Vậy$x = 1$là giá trị thoả mãn điều kiện hai vectơ vuông góc.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Điều kiện cùng phương:$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$(nếu các thành phần không bằng 0)
• Điều kiện vuông góc:$a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$.
• Nếu ở dạng hai chiều (Oxy): chỉ có hai thành phần, các công thức tương tự.

6. Các biến thể và điều chỉnh chiến lược giải

Loại bài toán này có một số biến thể như:

• Các thành phần của vectơ chứa tham số (ẩn), cần giải phương trình ẩn.
• Liên quan tới các đường thẳng/mặt phẳng, nên chuyển về dạng tọa độ để áp dụng công thức vectơ.
• Kiểm tra tính chất song song/vuông góc giữa hai đối tượng hình học thông qua các vectơ chỉ phương/pháp tuyến.

Chiến lược chung là luôn quy về bài toán về các thành phần toa độ và sử dụng các công thức nền tảng trên.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập: Cho ba điểm$A(1;2;0)$,$B(3;6;4)$,$C(k; 10; 8)$. Tìm$k$sao cho$\vec{AB}$và $\vec{AC}$cùng phương.

1. Tính$\vec{AB} = (3-1; 6-2; 4-0) = (2; 4; 4)$,$\vec{AC} = (k-1; 10-2; 8-0) = (k-1; 8; 8)$.
2. Điều kiện cùng phương:
   $\frac{k-1}{2} = \frac{8}{4} = \frac{8}{4} = 2$
3. $\frac{k-1}{2} = 2 \implies k-1 = 4 \implies k = 5$.

Vậy$k = 5$là giá trị cần tìm.

8. Bài tập thực hành

• Cho hai vectơ $\vec{u} = (a; 2; 6)$và $\vec{v} = (1; b; 3)$. Tìm các giá trị $a, b$ để hai vectơ cùng phương.
• Cho$\vec{x} = (2; m; -2)$và $\vec{y} = (1; 5; n)$. Xác định$m, n$để$\vec{x}$và $\vec{y}$vuông góc.
• Cho điểm$P(3;2;1)$,$Q(5;t;-1)$,$R(7;6;s)$. Tìm$t, s$để$\vec{PQ}$cùng phương với$\vec{PR}$.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm

• Khi kiểm tra cùng phương, đừng chia cho thành phần bằng 0; hãy so sánh trực tiếp từng thành phần hoặc kiểm tra phương trình.
• Đối với trường hợp hai vectơ có thành phần bằng 0, cần xét riêng để tránh chia cho 0.
• Đối với bài toán có tham số, nên giải từng điều kiện một, kiểm tra đáp số thoả mãn.
• Đọc kỹ giả thiết: xác định đúng vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến tùy ngữ cảnh đề.
• Luyện tập với nhiều dạng đề khác nhau để nhận diện nhanh phương pháp giải phù hợp.