1. Giới thiệu về loại bài toán này và tại sao nó quan trọng

Bài toán hàm bậc ba (hay còn gọi là hàm số bậc ba) thường có dạng tổng quát: $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,$

trong đó $a, b, c, d$là các hệ số thực,$a \neq 0$. Đây là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 12 vì:

• Hàm bậc ba xuất hiện trong nhiều bài toán thực tế mô phỏng tăng trưởng, dao động, tối ưu hoá.
• Hiểu rõ cấu trúc và cách giải giúp học sinh tự tin khi ôn luyện thi THPT Quốc gia và Đại học.
• Nhiều dạng bài toán liên quan tới khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị, tìm giá trị lớn nhỏ đều dựa trên hàm bậc ba.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán này

Hàm bậc ba có những đặc điểm sau:

• Đạo hàm bậc nhất là hàm bậc hai:$f'(x)=3ax^2+2bx+c$.
• Có tối đa hai điểm cực trị (cực đại, cực tiểu) khi$\Delta'=4b^2-12ac>0$.
• Hàm lũy tiến ba lần, có thể có một hoặc ba nghiệm thực tùy vào dấu của$\Delta=18abcd-4b^3d+b^2c^2-4ac^3-27a^2d^2$(định thức của ma trận tương ứng).
• Đồ thị có dạng cong đổi chiều một lần hoặc không đổi chiều, phụ thuộc vào dấu của$a$.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải mọi bài toán liên quan đến hàm bậc ba, chúng có thể tuân theo quy trình chung:

• Bước 1: Xác định miền xác định, tính đạo hàm$f'(x)$, giải$f'(x)=0$ để tìm điểm nghiệm.
• Bước 2: Phân tích dấu của$f'(x)$bằng cách xét hệ số $a$và $\Delta'$ để xác định khoảng hàm tăng/giảm.
• Bước 3: Xác định giá trị cực trị (cực đại, cực tiểu) bằng cách tính$f(x_i)$tại nghiệm$x_i$của$f'(x)=0$.
• Bước 4: Khảo sát giới hạn$\lim_{x\to \pm \infty} f(x)= \pm \infty$và xác định độ lõm/độ hội tụ bằng đạo hàm bậc hai$f''(x)$.
• Bước 5: Vẽ đồ thị tổng quát hoặc giải các yêu cầu về phương trình, bất đẳng thức, tích phân,…

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ: Xét hàm số $f(x)=2x^3-3x^2-12x+5$.

Bước 1: Tính đạo hàm

$f'(x)=6x^2-6x-12.$

Giải$f'(x)=0$:

Bước 2: Xét dấu$f'(x)$

Phân tích dấu của$(x-2)(x+1)$:

• Trên$(-\infty,-1)$:$(x-2)<0$,$(x+1)<0$=>$f'(x)>0$(hàm tăng).
• Trên$(-1,2)$:$(x-2)<0$,$(x+1)>0$=>$f'(x)<0$(hàm giảm).
• Trên$(2,+\infty)$:$(x-2)>0$,$(x+1)>0$=>$f'(x)>0$(hàm tăng).

Bước 3: Tính giá trị cực trị

$f(2)=2 \cdot 8-3 \cdot 4-24+5=-3;\quad f(-1)=-2-3+12+5=12.$

=> Cực đại tại$x=-1$với giá trị $12$, cực tiểu tại$x=2$với giá trị $-3$.

Bước 4: Khảo sát giới hạn và độ lõm

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.$

Đạo hàm bậc hai:$f''(x)=12x-6.$

Giải$f''(x)=0 \Rightarrow x=\frac12$. Trên$(-\infty,0.5)$:$f''(x)<0$lõm xuống; Trên$(0.5,+\infty)$:$f''(x)>0$lõm lên.

Bước 5: Vẽ đồ thị hoặc áp dụng kết quả để giải phương trình, bất đẳng thức…

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Đạo hàm:$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \Rightarrow f'(x)=3ax^2+2bx+c,\;f''(x)=6ax+2b.$
• Định thức trùng phương (để xét số nghiệm):$\Delta'=4b^2-12ac.$
• Định thức tổng quát của phương trình bậc ba:
• $\Delta=18abcd-4b^3d+b^2c^2-4ac^3-27a^2d^2.$
• Công thức Cardano (trường hợp cần nghiệm chính xác của$ax^3+bx^2+cx+d=0$).

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

a) Phương trình$f(x)=m$với tham số $m$.

– Đưa về giải$ax^3+bx^2+cx+(d-m)=0$, xét số nghiệm theo$\Delta$, tham số.

b) Bất đẳng thức$f(x) \geq 0$hoặc$f(x) \leq 0$.

– Tìm nghiệm của$f(x)=0$, xác định dấu trên từng khoảng.

c) Tích phân$\int f(x)dx$hoặc diện tích hình phẳng.

– Sử dụng phân tích đa thức, tích phân từng phần hoặc công thức nguyên hàm.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$.

Giải:

• 1.$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$.
• 2. Nghiệm:$x=1,3$. Xét dấu => hàm tăng trên$(-\infty,1)$, giảm$(1,3)$, tăng$(3,\infty)$.
• 3. Cực đại:$f(1)=1-6+9+1=5$. Cực tiểu:$f(3)=27-54+27+1=1$.
• 4. Giới hạn:$\lim_{x\to \pm \infty}f(x)= \pm \infty$.
• 5. Đạo hàm bậc hai:$f''(x)=6x-12$, nghiệm$x=2$xác định điểm uốn.
• 6. Vẽ đồ thị dựa trên các thông tin trên.

8. Bài tập thực hành để học sinh tự làm

• 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $f(x)=2x^3-9x^2+12x-1$.
• 2. Tìm$m$ để phương trình$x^3-3x^2+3x+(1-m)=0$có ba nghiệm phân biệt.
• 3. Giải bất đẳng thức$x^3-4x^2+x+6 \geq 0$.
• 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=x^3-3x$và đường thẳng$y=0$trên khoảng xác định.

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra hệ số $a \neq 0$ để xác định đúng hàm bậc ba.
• Chú ý chia ước chung khi giải$f'(x)=0$ để tránh sai dấu hoặc thiếu nghiệm.
• Kiểm tra lại kết quả bằng bảng biến thiên trước khi vẽ đồ thị.
• Với bài toán tham số, vẽ đồ thị tham số hoặc sử dụng bảng biến thiên động để xác định điều kiện.
• Ghi chú rõ $\lim_{x\to \pm \infty}f(x)$ để đảm bảo không bỏ sót xu hướng phương trình.