1. Giới thiệu về loại bài toán và tầm quan trọng

Hàm bậc ba có dạng tổng quát$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$với$a \neq 0$. Đây là loại hàm số cơ bản trong chương trình Toán lớp 12, mở đầu cho khái niệm đồ thị đa thức bậc cao, liên quan đến khảo sát sự biến thiên, cực trị, điểm uốn và ứng dụng trong tối ưu hoá. Việc nắm vững cách giải và phân tích hàm bậc ba sẽ giúp học sinh nâng cao tư duy phân tích, chuẩn bị vững vàng cho các dạng bài thi THPT Quốc gia và ôn luyện đại học.

2. Phân tích đặc điểm của hàm bậc ba

Một số đặc điểm cơ bản của hàm bậc ba$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$:

- Bậc lớn nhất bằng 3, nên hàm số có hai đầu xa (nhánh) kéo đi ngược chiều hoặc cùng chiều tuỳ dấu của$a$.

- Nếu$a>0$, khi$x\to +\infty$,$y\to +\infty$và khi$x\to -\infty$,$y\to -\infty$; ngược lại nếu$a<0$.

- Đạo hàm bậc nhất$f'(x)=3ax^2+2bx+c$là một đa thức bậc hai, cho phép tìm tối đa hai điểm tới hạn (cực đại, cực tiểu).

- Đạo hàm bậc hai$f''(x)=6ax+2b$là đa thức bậc nhất, cho ta một điểm uốn khi$f''(x)=0$.

- Hàm có thể có 1 hoặc 3 nghiệm thực tuỳ vào biệt thức của phương trình$ax^3+bx^2+cx+d=0$.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Khi giải các bài toán khảo sát hàm bậc ba, ta đi theo lộ trình sau:

1. Xác định tập xác định$\mathbb{D}=\mathbb{R}$.

2. Tính đạo hàm bậc nhất$f'(x)$, giải$f'(x)=0$ để tìm điểm tới hạn.

3. Tính đạo hàm bậc hai$f''(x)$, giải$f''(x)=0$ để xác định điểm uốn.

4. Phân tích dấu của$f'(x)$và $f''(x)$trên các khoảng xác định.

5. Tìm giới hạn$\lim_{x\to \pm \infty} f(x)$, giá trị tại điểm tới hạn và điểm uốn.

6. Kết luận về sự biến thiên, cực trị, điểm uốn và vẽ đồ thị.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

$y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$

Bước 1: Tập xác định

Với mọi đa thức, tập xác định là $\mathbb{R}$.

Bước 2: Tính đạo hàm bậc nhất và tìm điểm tới hạn

Ta có $f'(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)=6(x-2)(x+1)$. Giải$f'(x)=0$ra$x=2$và $x=-1$.

Bước 3: Tính đạo hàm bậc hai và tìm điểm uốn

$f''(x)=12x-6$. Giải$f''(x)=0 \Rightarrow x=\tfrac{1}{2}$. Vậy điểm uốn tại$x=\tfrac{1}{2}$.

Bước 4: Bảng biến thiên

- Khoảng$(-\infty, -1)$:$f'(x)>0$(hàm tăng)

- Khoảng$(-1,2)$:$f'(x)<0$(hàm giảm)

- Khoảng$(2,+\infty)$:$f'(x)>0$(hàm tăng)

Điểm cực đại tại$x=-1$,$y=f(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)+1=13$.

Điểm cực tiểu tại$x=2$,$y=f(2)=2(8)-3(4)-24+1=-7$.

Điểm uốn tại$x=\tfrac12$,$y=f(\tfrac12)=2(\tfrac18)-3(\tfrac14)-12(\tfrac12)+1=-6.125$.

Bước 5: Giới hạn

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$,$\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$.

Bước 6: Vẽ đồ thị dựa trên các điểm và dấu của đạo hàm.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Công thức đạo hàm:$f'(x)=3ax^2+2bx+c$,$f''(x)=6ax+2b$.

- Nghiệm điểm tới hạn: giải$3ax^2+2bx+c=0$.

- Điểm uốn: giải$6ax+2b=0 \Rightarrow x=-\frac{b}{3a}$.

- Tọa độ cực trị:$\bigl(x_i, f(x_i)\bigr)$với$x_i$nghiệm$f'(x)=0$.

- Sử dụng bảng biến thiên để kết luận tính đơn điệu và cực trị.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể thường gặp:

- Hàm chứa tham số:$y=ax^3+bx^2+cx+d$với$a,b,c,d$chứa tham số $m$, cần phân tích tham số cho tập nghiệm của đạo hàm.

- Bất phương trình bậc ba:$ax^3+bx^2+cx+d>0$hoặc$<0$, dùng nghiệm của đa thức để phân tích dấu.

- Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn$[\alpha,\beta]$, kết hợp khảo sát và so sánh giá trị biên.

- Tính tích phân của hàm bậc ba: sử dụng công thức nguyên hàm$\int ax^3dx=\tfrac{a}{4}x^4$.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Ví dụ 1. Khảo sát hàm số $y=-x^3+6x^2-9x+2$

Giải chi tiết tương tự ví dụ trên, ta tìm được điểm cực đại, cực tiểu và uốn, sau đó vẽ đồ thị.

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

– Tập xác định$[0,4]$.

– Tính$f'(x)=3x^2-6x-9$, giải được$x=3$(nằm trong$[0,4]$).

– So sánh$f(0),f(3),f(4)$ để lấy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

8. Bài tập thực hành

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-9x+5.$

2. Tìm$m$sao cho hàm$y=mx^3-3x^2+(2m-1)x+1$có hai điểm tới hạn đối xứng qua trục tung.

3. Giải bất phương trình$2x^3-x^2-x+1>0$và biểu diễn nghiệm trên trục số.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

- Luôn kiểm tra điều kiện$a \neq 0$ để chắc chắn là hàm bậc ba.

- Đừng bỏ sót bước tính đạo hàm bậc hai, giúp xác định điểm uốn.

- Giải đúng phương trình$f'(x)=0$: kiểm tra biệt thức$\Delta=b^2-3ac$.

- Khi khảo sát trên đoạn, so sánh cả giá trị biên và giá trị tại điểm tới hạn.

- Vẽ đồ thị chính xác bằng cách đánh dấu đầy đủ điểm đặc biệt và định hướng hai đầu xa.

Chúc các em thành công và luyện tập thêm nhiều bài để làm chủ dạng toán hàm bậc ba!