Cách giải bài toán hàm chi phí cận biên: Hướng dẫn chiến lược cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán hàm chi phí cận biên

Bài toán về "hàm chi phí cận biên" (kí hiệu$C'(x)$hoặc$MC(x)$trong kinh tế học) là một chủ đề nền tảng của Toán 12, đặc biệt ở phần Tích phân - ứng dụng của đạo hàm. Dạng toán này xuất hiện nhiều trong các bài kiểm tra, thi học kỳ hay thi THPT quốc gia.

Về thực tiễn, hàm chi phí cận biên diễn tả chi phí tăng thêm để sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm khi đã sản xuất$x$sản phẩm. Việc giải thành thạo loại bài này giúp học sinh rèn kỹ năng vận dụng đạo hàm và tích phân, hiểu ý nghĩa thực tế của toán học.

2. Đặc điểm của bài toán hàm chi phí cận biên

Thường cho sẵn hàm chi phí cận biên$C'(x)$hoặc$MC(x)$.Yêu cầu tìm hàm chi phí tổng$C(x)$hoặc giá trị chi phí $C(x_1), C(x_2)$.Một số câu hỏi đặc trưng: Tính chi phí sản xuất một lượng sản phẩm; Tìm chi phí sản xuất thêm; So sánh;...Gắn liền với kiến thức đạo hàm, nguyên hàm, tích phân và ý nghĩa hình học (diện tích).

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán hàm chi phí cận biên

Bước 1: Đọc kỹ đề, xác định dạng toán: Đề bài hỏi giá trị cụ thể, tìm phương trình hàm, hay tính khoảng tăng thêm?Bước 2: Xác định rõ biến$x$(số sản phẩm), hàm chi phí cận biên$C'(x)$, điều kiện ban đầu (ví dụ:$C(0)$hoặc$C(a)$ đã biết).Bước 3: Liên hệ các khái niệm toán học: Biết$C'(x)$, muốn tìm$C(x)$→ tính tích phân/ nguyên hàm.Bước 4: Xếp vào đúng dạng công thức, vận dụng đạo hàm hoặc tích phân phù hợp.Bước 5: Đáp số, kiểm tra lại ý nghĩa và đơn vị (nếu có khái niệm thực tế).

4. Các bước giải chi tiết kèm ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm chi phí cận biên$C'(x) = 5x^2 + 4x + 3$(nghìn đồng), biết$C(0) = 100$(nghìn đồng). Hỏi chi phí sản xuất 2 sản phẩm là bao nhiêu nghìn đồng?

Tìm hàm chi phí tổng$C(x)$bằng cách lấy nguyên hàm của$C'(x)$.Ta có:$C'(x) = 5x^2 + 4x + 3 \Rightarrow \int C'(x)dx = \int (5x^2 + 4x + 3)dx = \frac{5}{3}x^3 + 2x^2 + 3x + C_0$Sử dụng$C(0) = 100$:
$C(0) = \frac{5}{3} \cdot 0^3 + 2 \cdot 0^2 + 3 \cdot 0 + C_0 = 100 \implies C_0 = 100$Hàm chi phí tổng:
$C(x) = \frac{5}{3}x^3 + 2x^2 + 3x + 100$Chi phí sản xuất 2 sản phẩm:
$C(2) = \frac{5}{3} \cdot 8 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2 + 100 = \frac{40}{3} + 8 + 6 + 100 = (\frac{40}{3} + 14) + 100$
Tính$\frac{40}{3} + 14 = \frac{40+42}{3} = \frac{82}{3}$
Nên$C(2) = \frac{82}{3} + 100 = \frac{382}{3}$(nghìn đồng) ≈ 127,33 nghìn đồng.

Ví dụ 2: Cho$C'(x) = 2x + 1$, biết$C(1) = 4$. Tính chi phí sản xuất từ sản phẩm thứ 1 đến sản phẩm thứ 5.

Dùng tích phân:
$C(5) - C(1) = \int_{1}^{5} C'(x)dx = \int_{1}^{5} (2x + 1)dx$
Tính nguyên hàm:$\int (2x + 1)dx = x^2 + x$

Thay vào:
$\int_{1}^{5} (2x + 1)dx = [x^2 + x]_{1}^{5} = (25 + 5) - (1 + 1) = 30 - 2 = 28$Vậy chi phí sản xuất từ sản phẩm 1 đến sản phẩm 5 là 28 (đơn vị đồng).

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

Chi phí cận biên:$C'(x)$Tìm chi phí tổng:$C(x) = \int C'(x)dx + C_0$Chi phí tăng thêm khi sản xuất từ $x_1$ đến$x_2$:
$C(x_2) - C(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} C'(x)dx$Kỹ thuật: Nhớ thao tác lấy nguyên hàm và sử dụng điều kiện xác định hằng số.

6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

Bài toán cho$C'(x)$, yêu cầu tìm$C(x)$khi biết$C(x_0)$: Lấy nguyên hàm, thay điều kiện để tìm$C_0$.Bài toán hỏi chi phí tăng thêm: Dùng tích phân trên đoạn$[x_1, x_2]$.Có thể gặp biến thể hàm chi phí biên theo tham số hoặc chứa tham số chưa biết, giải tương tự, có thể thêm bước giải phương trình.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Cho hàm chi phí cận biên:$C'(x) = x^2 + 2x$, biết$C(2) = 10$. Tính chi phí để sản xuất 5 sản phẩm.

Tìm hàm chi phí tổng$C(x)$:
$C(x) = \int (x^2 + 2x)dx = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + C_0$Dùng điều kiện$C(2) = 10$:
$C(2) = \frac{1}{3} \cdot 8 + 4 + C_0 = \frac{8}{3} + 4 + C_0 = 10$
$\Rightarrow C_0 = 10 - 4 - \frac{8}{3} = 6 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$Vậy$C(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + \frac{10}{3}$Tính chi phí để sản xuất 5 sản phẩm:
$C(5) = \frac{1}{3} \cdot 125 + 25 + \frac{10}{3} = \frac{125}{3} + 25 + \frac{10}{3} = \frac{125+10}{3} + 25 = \frac{135}{3} + 25 = 45 + 25 = 70$

Vậy chi phí sản xuất 5 sản phẩm là 70 (đơn vị đồng, nghìn đồng tùy đơn vị đề bài).

8. Bài tập thực hành

1. Cho$C'(x) = 4x + 1$, biết$C(0) = 7$. Tính$C(3)$.

2. Cho$C'(x) = 2x$,$C(1) = 2$. Tìm chi phí sản xuất từ sản phẩm thứ 1 đến sản phẩm thứ 4.

3. Một hàm chi phí cận biên$C'(x) = x + 5$, biết chi phí sản xuất 2 sản phẩm là 20. Tìm chi phí sản xuất 6 sản phẩm.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

Chú ý điều kiện ban đầu để xác định hằng số tích phân$C_0$.Trong bài toán tích phân định cận nhớ lấy đúng giới hạn$[x_1, x_2]$theo yêu cầu.Kiểm tra đơn vị đề bài (nghìn đồng, triệu đồng...) và nêu rõ trong đáp số.Sau khi tính xong nên rà soát lại các bước giải, đề phòng nhầm lẫn công thức nguyên hàm, cộng - trừ số.Nên viết rõ lời giải từng bước để tránh bị trừ điểm khi trình bày.

Hy vọng qua bài hướng dẫn trên, các bạn đã hiểu rõ cách giải bài toán hàm chi phí cận biên ở lớp 12 cũng như vận dụng linh hoạt các kỹ thuật toán học hiện đại. Hãy luyện tập các bài tập để thành thạo và đạt kết quả cao ở các kỳ thi!