Cách giải bài toán Hàm chi phí cận biên – Chiến lược tiếp cận bài toán chuẩn lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán hàm chi phí cận biên và tầm quan trọng

Bài toán về hàm chi phí cận biên là một dạng toán quan trọng trong chương IV Giải tích lớp 12, xuất hiện phổ biến trong các đề thi THPT Quốc gia. Hàm chi phí cận biên giúp đánh giá mức thay đổi của chi phí khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm. Việc giải tốt dạng toán này không chỉ giúp học sinh làm chủ kiến thức nguyên hàm, tích phân mà còn rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức toán học vào thực tế sản xuất kinh tế.

2. Phân tích đặc điểm bài toán hàm chi phí cận biên

• Dữ kiện thường cho: Hàm chi phí cận biên$C'(x)$, số lượng sản phẩm ban đầu, chi phí ban đầu hoặc hàm tổng chi phí $C(x)$. • Yêu cầu thường gặp: Tính tổng chi phí để sản xuất mức sản phẩm tiếp theo, tìm hàm tổng chi phí $C(x)$, xác định mức sản xuất tối ưu,...
• Mối liên hệ cốt lõi:$C'(x)$là đạo hàm của hàm chi phí tổng$C(x)$, nên$C(x)$là nguyên hàm của$C'(x)$.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

a. Xác định rõ yêu cầu đề bài (tính chi phí, lập hàm, tìm thay đổi chi phí...)
b. Nhận diện các dữ kiện:$C'(x)$, giá trị $C(a)$, giá trị cần tính ($C(b)$), số lượng sản phẩm$x$...
c. Liên hệ giữa đạo hàm, nguyên hàm và tích phân:
- Tổng chi phí khi sản xuất thêm từ $x=a$ đến$x=b$là:$C(b) - C(a) = \int_{a}^{b} C'(x) dx$
d. Nếu đề yêu cầu tìm$C(x)$thì tìm nguyên hàm của$C'(x)$(có thể cần thêm điều kiện ban đầu để xác định hằng số tích phân).

4. Các bước giải chi tiết kèm ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho$C'(x) = 3x^2 + 2x + 5$(triệu đồng), chi phí ban đầu sản xuất 1 sản phẩm là 10 triệu đồng. Tính chi phí để sản xuất 3 sản phẩm.

Bước 1: Định nghĩa các giá trị:$C'(x)$ đã có,$C(1) = 10$, cần tìm$C(3)$.
Bước 2: Tính$C(3) - C(1) = \int_{1}^{3} (3x^2 + 2x + 5) dx$
Bước 3: Tính tích phân:

Bước 4: Tổng chi phí:$C(3) = C(1) + 44 = 10 + 44 = 54$(triệu đồng)

5. Các công thức và kỹ thuật cần ghi nhớ

• • Công thức liên hệ tổng chi phí và chi phí cận biên:$C(b) - C(a) = \int_{a}^{b} C'(x) dx$
• • Nguyên hàm để tìm hàm tổng chi phí: Nếu$C'(x)$là hàm đa thức, tìm nguyên hàm rồi thêm hằng số thích hợp.
• • Biến đổi các bài toán thực tế về sản xuất về đúng mô hình toán học quen thuộc (hàm lượng giác, logarit, mũ dùng kiến thức giải tích đã học).

6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Nếu cho thêm điều kiện$C(x_0) = C_0$và yêu cầu tìm hàm$C(x)$: Học sinh cần tính nguyên hàm của$C'(x)$rồi giải phương trình với dữ kiện ban đầu để tìm hằng số.
• Nếu cho$C'(x)$dưới dạng hàm phức tạp (logarit, mũ): Sử dụng các công thức nguyên hàm nâng cao, chú ý bảng nguyên hàm cơ bản.
• Nếu yêu cầu tính chi phí sản xuất thêm$k$ đơn vị:$\int_{x_0}^{x_0+k} C'(x) dx$.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập: Cho hàm chi phí cận biên$C'(x) = 2x + 1$(triệu đồng), biết chi phí sản xuất 2 sản phẩm là 5 triệu đồng. Hỏi chi phí sản xuất 5 sản phẩm?

Giải:
- Bước 1:$C'(x) = 2x + 1$,$C(2) = 5$, cần tính$C(5)$.
- Bước 2:$C(5) - C(2) = \int_{2}^{5} (2x + 1) dx$
- Bước 3:$\int (2x + 1) dx = x^2 + x + C$
Nên:$\int_{2}^{5} (2x + 1) dx = (25 + 5) - (4 + 2) = 30 - 6 = 24$
- Bước 4:$C(5) = C(2) + 24 = 5 + 24 = 29$(triệu đồng).

8. Bài tập thực hành tự luyện

• 1. Cho$C'(x) = 4x^3 + x^2 + 6$,$C(0) = 8$. Tính chi phí sản xuất 2 sản phẩm.
• 2. Biết$C'(x) = 5e^{x}$,$C(0) = 1$, tìm chi phí sản xuất 3 sản phẩm.
• 3. Cho hàm$C'(x) = \frac{1}{x+1}$,$C(1) = 2$. Tìm hàm tổng chi phí $C(x)$.

9. Các mẹo, lưu ý và lỗi thường gặp

• • Cẩn thận đổi đúng giới hạn tích phân ($a$nhỏ,$b$lớn).
• • Nhớ thêm hằng số $C$khi tính nguyên hàm, dùng điều kiện để tìm chính xác.
• • Không tự ý sử dụng sai đơn vị (triệu đồng, sản phẩm).
• • Luôn kiểm tra xem đề bài yêu cầu tìm gì:$C(x)$,$C(a)$, hay hiệu$C(b) - C(a)$.