Blog

Lớp 12

Chiến lược giải bài toán Hàm liên tục không âm cho học sinh lớp 12

T
Tác giả
•
•7 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu về loại bài toán này và tại sao nó quan trọng

Bài toán về hàm liên tục không âm là dạng bài thường gặp trong chương trình Giải tích lớp 12. Với điều kiện hàmffliên tục trên khoảng[a,b][a,b]và f(x)≥0f(x)\ge0, ta có thể áp dụng nhiều định lý và bất đẳng thức để tính toán tích phân, ước lượng và chứng minh tồn tại điểm đạt giá trị trung bình. Đây là nền tảng quan trọng cho các bài toán tích phân nâng cao và ôn luyện thi THPT Quốc gia.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán này

Đặc điểm chính của bài toán hàm liên tục không âm:

- Tính liên tục đảm bảo hàm khả tích Riemann trên đoạn kín.

- Điều kiệnf(x)≥0f(x)\ge0cho phép sử dụng bất đẳng thức bounding và kết luận về giá trị trung bình.

- Nhiều bài toán yêu cầu chứng minh hàm phải đồng nhất bằng 0 hoặc tìm điểmccsao chof(c)f(c)bằng giá trị trung bình của tích phân.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

  • Xác định phạm vi và điều kiện của hàm: liên tục trên[a,b][a,b], không âm.
  • Phân loại yêu cầu: tính tích phân, chứng minh tồn tại điểm giá trị trung bình, ước lượng cận trên – cận dưới.
  • Áp dụng định lý phù hợp: định lý giá trị trung bình cho tích phân, bất đẳng thức bounding, tính chất của hàm không âm.
  • Phân tích điều kiện biên và giá trị đặc biệt: giá trị cực tiểu, cực đại, hoặc điểm mà hàm bằng 0.

    • 4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

    Để giải bài toán hàm liên tục không âm, chúng ta thực hiện tuần tự các bước sau:

  • Bước 1: Kiểm tra điều kiệnffliên tục và f(x)≥0f(x)\ge0trên khoảng đã cho.
  • Bước 2: Xác định dạng bài toán: tìmccthỏa mãn định lý giá trị trung bình, tính tích phân, hay chứng minhf(x)=0f(x)=0.
  • Bước 3: Chọn công cụ giải toán phù hợp (MVT tích phân, bounding, tính chất không âm).
  • Bước 4: Thực hiện phép biến đổi toán học, sử dụng LaTeX để diễn đạt rõ ràng từng bước và kết luận cuối cùng.

    • Ví dụ minh họa

    Chof:[0,2]→Rf:[0,2]\to\mathbb{R}liên tục và f(x)≥0f(x)\ge0với∫02f(x) dx=8.\int_{0}^{2}f(x)\,dx=8.Chứng minh tồn tạic∈(0,2)c \in (0,2)sao chof(c)=4f(c)=4.

    Giải:

    Vì ffliên tục trên[0,2][0,2], theo định lý giá trị trung bình cho tích phân, có c∈(0,2)c \in (0,2)sao cho

    ∫02f(x) dx=f(c) (2−0).\int_{0}^{2}f(x)\,dx = f(c)\,(2-0).

    Thay vào, ta có 8=f(c)⋅2⇒f(c)=48 = f(c) \cdot 2 \Rightarrow f(c)=4. Vậy điều phải chứng minh được đưa ra.

    5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Định lý giá trị trung bình cho tích phân: nếuffliên tục trên[a,b][a,b]thì ∃ c∈(a,b):∫abf(x) dx=f(c)(b−a).\exists\,c \in (a,b):\int_{a}^{b}f(x)\,dx = f(c)(b-a).
  • Bất đẳng thức bounding: vớim=min⁡[a,b]f(x)m=\min_{[a,b]}f(x),M=max⁡[a,b]f(x)M=\max_{[a,b]}f(x), ta có m(b−a)≤∫abf(x) dx≤M(b−a).m(b-a)\le\int_{a}^{b}f(x)\,dx\le M(b-a).
  • Tính chất hàm không âm: nếu hàm liên tục và ∫abf(x) dx=0⇒f(x)=0,∀x∈[a,b].\int_{a}^{b}f(x)\,dx=0 \Rightarrow f(x)=0,\forall x \in [a,b].

    • 6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

    - Bài toán tìm cận dưới và cận trên của tích phân theo giá trị cực trị.

    - Bài toán chứng minh hàm phải đồng nhất bằng 0 khi tích phân tích phân nhân với hàm trọng số bằng 0.

    - Bài toán tìm điểm giá trị trung bình có trọng số:∫abf(x)g(x) dx=g(c)∫abf(x) dx\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(c)\int_{a}^{b}f(x)\,dxvớig(x)≥0g(x)\ge0liên tục.

    7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

    Bài tập 1. Chog:[1,3]→Rg:[1,3]\to\mathbb{R}liên tục,g(x)≥0g(x)\ge0và ∫13g(x) dx=6.\int_{1}^{3}g(x)\,dx=6.Tìmc∈(1,3)c \in (1,3)sao chog(c)=3g(c)=3.

    Lời giải: Theo định lý giá trị trung bình,∫13g(x) dx=g(c) (3−1)⇒6=2g(c)⇒g(c)=3.\int_{1}^{3}g(x)\,dx=g(c)\,(3-1) \Rightarrow 6=2g(c) \Rightarrow g(c)=3.

    Bài tập 2. Cho h:[0,π]→Rh:[0,\pi]\to\mathbb{R}liên tục,h(x)≥0h(x)\ge0. Biết ∫0πh(x)sin⁡x dx=0.\int_{0}^{\pi}h(x)\sin x\,dx=0.Chứng minhh(x)=0h(x)=0với mọix∈[0,π]x \in [0,\pi].

    Lời giải: Vì h(x)≥0h(x)\ge0và sin⁡x≥0\sin x\ge0trên[0,π][0,\pi], nên tích h(x)sin⁡x≥0h(x)\sin x\ge0. Tích phân bằng 0 ⇒ h(x)sin⁡x=0,∀xh(x)\sin x=0,\forall x. Trên (0,π)(0,\pi), sin⁡x>0\sin x>0⇒h(x)=0h(x)=0. Tại 0,π0,\pi, sin⁡x=0\sin x=0không ràng buộc thêm. Vậyh(x)=0h(x)=0trên[0,π][0,\pi].

    8. Bài tập thực hành để học sinh tự làm

  • Chof:[0,4]→Rf:[0,4]\to\mathbb{R}liên tục,f(x)≥0f(x)\ge0, biết∫04f(x) dx=12.\int_{0}^{4}f(x)\,dx=12.Chứng minh có c∈(0,4)c \in (0,4)sao chof(c)=3f(c)=3.
  • Chop:[a,b]→Rp:[a,b]\to\mathbb{R}liên tục,p(x)≥0p(x)\ge0, tìmm,Mm,Msao chom(b−a)≤∫abp(x) dx≤M(b−a).m(b-a)\le\int_{a}^{b}p(x)\,dx\le M(b-a).
  • Choq:[0,2]→Rq:[0,2]\to\mathbb{R}liên tục,q(x)≥0q(x)\ge0, và ∫02xq(x) dx=0.\int_{0}^{2}xq(x)\,dx=0.Chứng minhq(x)=0q(x)=0trên[0,2][0,2].

    • 9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

  • Luôn kiểm tra điều kiện liên tục và không âm trước khi áp dụng định lý.
  • Chú ý định lý giá trị trung bình cho tích phân yêu cầu hàm liên tục trên đoạn kín.
  • Khi áp dụng bounding, xác định đúngm=min⁡f(x)m=\min f(x)và M=max⁡f(x)M=\max f(x)trên đoạn.
  • Tránh nhầm lẫn giữa tích phân bằng 0 và hàm đồng nhất 0 nếu hàm không âm và liên tục.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".