Blog

Lớp 12

Chiến Lược Toàn Diện Giải Bài Toán Hàm Liên Tục Không Âm Lớp 12

T
Tác giả
•
•8 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

1. Giới thiệu về Bài Toán Hàm Liên Tục Không Âm và Ý Nghĩa

Trong chương trình Toán 12, các bài toán về hàm liên tục không âm xuất hiện rất phổ biến, đặc biệt trong các chuyên đề tích phân, ứng dụng tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, và nhiều bài toán thực tiễn khác. Những dạng toán này giúp học sinh nâng cao khả năng phân tích, mô hình hóa, và vận dụng kiến thức giải tích vào thực tế.

2. Đặc điểm của dạng bài toán Hàm liên tục không âm

Các bài toán này thường có các đặc điểm nổi bật như:

  • - Hàm số được xác định liên tục trên đoạn[a,b][a, b].
  • - Giá trị hàm số không âm, nghĩa là f(x)≥0f(x) \geq 0với mọix∈[a,b]x \in [a, b].
  • - Đề bài thường yêu cầu tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, tìm tham số để hàm không âm, mô tả miền xác định, hoặc tìm điều kiện để biểu thức tích phân có giá trị xác định.

    • 3. Chiến lược tổng thể cách giải bài toán hàm liên tục không âm

    Để tiếp cận hiệu quả, bạn nên theo các bước sau:

  • - Xác định miền xác định của hàm số trên đoạn[a,b][a,b].
  • - Kiểm tra tính liên tục của hàm số trên miền đã xác định.
  • - Xét dấu của hàm số (phân tíchf(x)≥0f(x) \geq 0) trên miền này, bằng việc tìm nghiệm củaf(x)=0f(x) = 0và xác định khoảng đồng biến, nghịch biến để liệt kê đầy đủ vị trí không âm.
  • - Áp dụng các công thức tích phân để giải quyết yêu cầu bài toán (ví dụ: tính diện tích, thể tích hoặc tìm điều kiện để hàm không âm).
  • - Đối với bài toán có tham số, biểu diễn điều kiện với tham số rồi giải bất phương trình liên quan đến tham số đó.

    • 4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

    Bước 1: Xác định miền xác định và liên tục

    Ví dụ: Cho hàm số f(x)=x2−2x+1f(x) = x^2 - 2x + 1trên đoạn[0,3][0,3].

    • - Hàm số này là một đa thức nên xác định và liên tục trênmRm{\mathbb{R}}, đặc biệt trên[0,3][0,3].

    Bước 2: Xét dấu và tìm miền không âm

  • - Giảif(x)≥0⇔x2−2x+1≥0⇔(x−1)2≥0f(x) \geq 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow (x-1)^2 \geq 0(Luôn đúng với mọixx).
  • - Vậyf(x)≥0f(x) \geq 0trên[0,3][0,3].

    • Bước 3: Thực hiện yêu cầu bài toán cụ thể

    • - Tính diện tích khu vực giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành trên[0,3][0,3]:

      A=∫03(x2−2x+1)dxA = \int_{0}^{3} (x^2 - 2x + 1) dx

      - Tính:

      ∫03(x2−2x+1)dx=[x33−x2+x]03=(273−9+3)−(0−0+0)=(9−9+3)=3.\int_{0}^{3} (x^2 - 2x + 1) dx = \left[\frac{x^3}{3} - x^2 + x\right]_0^3 = \left(\frac{27}{3} - 9 + 3\right) - (0 - 0 + 0) = (9 - 9 + 3) = 3.

    Vậy diện tích chính là 33 đơn vị diện tích.

    5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • - Diện tích hình phẳng giới hạn bởiy=f(x)y=f(x)và y=0y=0trên đoạn[a,b][a,b]:

    A=∫ab∣f(x)∣dxA = \int_{a}^{b} |f(x)|dx
    Nếuf(x)≥0f(x) \geq 0thì A=∫abf(x)dxA = \int_{a}^{b} f(x) dx
  • - Thể tích khối tròn xoay quanh trục hoành (Ox):

    V=π∫ab[f(x)]2dxV = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx
  • - Tìm điều kiện để f(x)≥0f(x) \geq 0:

    - Đối với hàm bậc 2:ax2+bx+c≥0ax^2 + bx + c \geq 0trên[a,b][a,b], kiểm tra dấu hệ số và vị trí các nghiệm.
    - Đối với hàm phân thức: Dùng điều kiện xác định và đánh giá dấu tử, mẫu.
  • - Định lý liên tục: Nếuf(x)f(x)liên tục trên[a,b][a,b], tích phân xác định tồn tại.

    • 6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

    Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm không âm trên[a,b][a,b].
    Chẳng hạnf(x)=x2+mx+1f(x) = x^2 + mx + 1, tìmmmđểf(x)≥0f(x) \geq 0trên[0,1][0,1].

    Dạng 2: Hàm là phân thức, căn thức – Cần chia miền xác định rõ ràng và xét thêm về điều kiện xác định của căn hoặc mẫu.

  • - Nếu hàm có tham số, hãy lập bất phương trình và kiểm tra các điểm biên.
  • - Nếu hàm phức tạp, phân tích ra các đoạn và xét tính liên tục, không âm trên từng đoạn.

    • 7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

    Bài tập: Chof(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3trên đoạn[1,4][1,4]. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên[1,4][1,4]và xác định xem hàm có không âm trên đoạn này không. Nếu có, hãy tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành trên[1,4][1,4].

  • - Xác định miền xác định và liên tục: Hàm đa thức nên xác định và liên tục trên[1,4][1,4].
  • - Tìm điểm cực trị:

    f′(x)=2x−4=0⇔x=2f'(x) = 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2.

    Tính giá trị tại các điểm1,2,41,2,4:

    \[ f(1) = 1 - 4 + 3 = 0 \\
    f(2) = 4 - 8 + 3 = -1 \\
    f(4) = 16 - 16 + 3 = 3 \]

    - Giá trị nhỏ nhất là −1-1tạix=2x=2. Vì f(2)<0f(2) < 0, hàm có giá trị âm trên đoạn[1,4][1,4].
  • - Tìm các điểm cắt trục hoành:x2−4x+3=0⇒x=1,x=3x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x=1, x=3.

    Hàm âm trên(1;3)(1;3), dương trên(3;4](3;4]và ở x=1,3x=1,3giá trị bằng00.
  • - Tính diện tích hình phẳng (AA):

    Điều kiệnf(x)≥0f(x) \geq 0chỉ xảy ra trên[3,4][3,4]. Nên diện tích là:

    A=∫34(x2−4x+3)dxA = \int_{3}^{4} (x^2 - 4x + 3) dx

    =[x33−2x2+3x]34= \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_{3}^{4}
    =(643−32+12)−(273−18+9)= \left( \frac{64}{3} - 32 + 12 \right) - \left( \frac{27}{3} - 18 + 9 \right)
    =(643−20)−(9−9)= \left( \frac{64}{3} - 20 \right) - \left( 9 - 9 \right)
    =643−20= \frac{64}{3} - 20
    =64−603=43= \frac{64 - 60}{3} = \frac{4}{3}

    Vậy diện tích là 43\frac{4}{3}.

    • 8. Bài tập thực hành

  • Bài 1: Cho hàm số f(x)=x2−6x+mf(x) = x^2 - 6x + mtrên đoạn[2,5][2,5]. Tìm tất cả mmđểf(x)f(x)không âm trên đoạn này.
  • Bài 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y=xy = \sqrt{x}, trục hoành, trục tung và đường thẳng x=4x = 4 quanh trục Ox.
  • Bài 3: Chof(x)=1x−af(x) = \frac{1}{x-a}vớia<0a<0, xét tính liên tục và không âm củaf(x)f(x)trên[1,3][1,3].
  • Bài 4: Tìm tất cả mmsao chof(x)=x2+mx+2f(x) = x^2 + mx + 2không âm trên[0,1][0,1].
  • Bài 5: Cho hàm f(x)=sin⁡x+1f(x) = \sin x + 1trên đoạn[0,π][0, \pi], chứng minh hàm luôn không âm và tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=f(x)y = f(x), x=0x=0, x=πx=\pi và trục hoành.

    • 9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán hàm liên tục không âm

  • - Khi bài toán cho hàm có tham số, luôn kiểm tra kỹ các điểm biênx=a,x=bx=a, x=bvì đây dễ là cực trị hoặc nghiệm của hàm số.
  • - Với hàm bậc hai: Tìm nghiệm, kiểm tra dấu hệ số aa, xác định giá trị của hàm tại các điểm biên, các điểm cực trị trong đoạn.
  • - Nếu hàm số có căn, tuyệt đối, nên chia khoảng bằng nghiệm để xét dấu dễ dàng.
  • - Luôn xác định rõ miền xác định trước khi tìm điều kiện không âm.
  • - Khi tích phân diện tích, nhớ xét dấu của hàm số để lấy giá trị tuyệt đối khi cần.

    • Hy vọng qua bài viết này, các bạn đã nắm vững các chiến lược và cách giải bài toán hàm liên tục không âm, từ cơ bản đến nâng cao!

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".