Chiến lược giải bài toán hàm logarit cho học sinh lớp 12

Bài toán về hàm logarit là một trong những chủ đề trọng tâm của chương trình Toán lớp 12, đặc biệt quan trọng trong các kỳ thi THPT Quốc gia và tuyển sinh Đại học. Hiểu và làm chủ loại bài toán này không chỉ giúp học sinh nâng cao điểm số mà còn phát triển tư duy logic, khả năng biến đổi các biểu thức toán học linh hoạt.

1. Giới thiệu về bài toán hàm logarit và tầm quan trọng

Hàm logarit là một trong những hàm số quan trọng nhất trong toán học cấp 3, được sử dụng trong giải phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, khảo sát hàm số... Việc thành thạo "cách giải bài toán hàm logarit" sẽ giúp học sinh xử lý nhanh các dạng bài tập liên quan trong đề thi.

2. Đặc điểm của bài toán hàm logarit

• - Xuất hiện dạng phương trình, bất phương trình hoặc khảo sát hàm số có chứa logarit.
• - Đòi hỏi điều kiện xác định của biểu thức logarit:$log_a b$xác định khi$a>0$,$a<br>eq1$,$b>0$.
• - Cần kỹ năng biến đổi biểu thức để tận dụng các tính chất logarit.
• - Có thể kết hợp với các phương pháp đại số, giải tích hoặc các kỹ thuật đặc biệt như đặt ẩn phụ, phân tích hàm.

3. Chiến lược tổng thể giải bài toán hàm logarit

Để "cách giải bài toán hàm logarit" hiệu quả, cần thực hiện các bước chiến lược sau:

1. Xác định miền xác định của bài toán (điều kiện xác định của logarit).
2. Rút gọn hoặc biến đổi các biểu thức logarit về dạng quen thuộc bằng các công thức cơ bản.
3. Sử dụng tính chất của hàm logarit để đưa phương trình/bất phương trình về dạng cơ bản.
4. Giải phương trình, bất phương trình hoặc thực hiện khảo sát hàm số.
5. Kiểm tra và kết luận nghiệm thỏa mãn điều kiện.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định điều kiện xác định

Với hàm$y = \log_a{f(x)}$, yêu cầu$a>0$,$a <br> \neq 1$,$f(x)>0$.

Bước 2: Biến đổi và rút gọn biểu thức logarit

Sử dụng các công thức:

• $\log_a{A} + \log_a{B} = \log_a{(AB)}$
• $\log_a{A} - \log_a{B} = \log_a{\left(\dfrac{A}{B}\right)}$
• $k\log_a{A} = \log_a{(A^k)}$

Bước 3: Đưa về dạng cơ bản

Nếu phương trình/chứa logarit hai vế giống cơ số, hãy đưa về cùng cơ số, sử dụng:$\log_a{A} = \log_a{B} \Leftrightarrow A = B$(với$A, B > 0$).

Bước 4: Giải phương trình, kiểm tra điều kiện và kết luận

Sau khi giải ra nghiệm, phải kiểm tra điều kiện xác định. Chỉ nhận các nghiệm thuộc tập xác định.

Ví dụ minh họa

Giải phương trình sau:

$\log_2(x-1) + \log_2(x-3) = 3$

Lời giải bước đi cụ thể:

1. ĐKXĐ:$x-1>0$,$x-3>0$ \Rightarrow x>3$\log_2[(x-1)(x-3)] = 3$
2. Đưa về cơ số:$(x-1)(x-3) = 2^3 = 8$
3. Giải phương trình:$x^2 - 4x + 3 - 8 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4x -5=0$ \Rightarrow x=5$hoặc$x=-1" data-math-type="inline"> undefined
4. Kết hợp logarit:$\log_2[(x-1)(x-3)] = 3$
5. Đưa về cơ số:$(x-1)(x-3) = 2^3 = 8$
6. Giải phương trình:$x^2 - 4x + 3 - 8 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4x -5=0$ \Rightarrow x=5$hoặc$x=-1$ .
7. Tìm nghiệm thỏa mãn ĐKXĐ$x>3$: Chọn$x=5$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=5$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• $\log_a{A} + \log_a{B} = \log_a{(A \cdot B)}$
• $\log_a{A} - \log_a{B} = \log_a{\left(\frac{A}{B}\right)}$
• $k\log_a{A} = \log_a{A^k}$
• $\log_b{a} = \frac{1}{\log_a{b}}$
• $\log_a{b} = \frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$(đổi cơ số)
• Hàm logarit là hàm đồng biến khi$a>1$, nghịch biến khi$0<a<1$.

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

a) Phương trình logarit phức tạp

- Đặt ẩn phụ nếu nhiều biểu thức logarit lặp lại.

b) Bất phương trình logarit

- Sử dụng tính chất đồng biến/nghịch biến của logarit để suy ra điều kiện so sánh.

c) Bài toán thực tế liên quan logarit

- Biến đổi về dạng phương trình/bất phương trình logarit, giải tương tự các bước trên.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Bài toán mẫu 1

Giải bất phương trình:$\log_3(x^2-3x+2)>1$

Lời giải:

1. Điều kiện:$x^2-3x+2 > 0 \Leftrightarrow (x-1)(x-2)>0 \Rightarrow x<1$hoặc$x>2$
2. Bất phương trình:$\log_3(x^2-3x+2)>1 \Leftrightarrow x^2-3x+2 > 3^1 =3$
3. Giải: $x^2-3x-1>0 \Leftrightarrow x > \frac{3+\sqrt{13}}{2}$hoặc$x < \frac{3-\sqrt{13}}{2}$
4. Kết hợp với điều kiện xác định: $x < 1$và $x < \frac{3-\sqrt{13}}{2}$; $x > 2$và $x > \frac{3+\sqrt{13}}{2}$.
5. Kết luận: Nghiệm là $x > \max\{2, \frac{3+\sqrt{13}}{2}\}$.

Bài toán mẫu 2

Cho hàm số $y = \log_a{x}$($a>0$,$a <br> \neq 1$), tìm tập xác định.

1. Điều kiện xác định:$x>0$.

Vậy tập xác định là $D = (0; +\infty)$.

Bài toán mẫu 3

Giải phương trình:$2\log_5(x-1) = 1+ \log_5(x+3)$

1. Điều kiện xác định:$x-1 >0 \Rightarrow x>1$,$x+3>0 \Rightarrow x>-3$ \Rightarrow x>1$.
2. $2\log_5(x-1) - \log_5(x+3) = 1$
3. $\log_5(x-1)^2 - \log_5(x+3) = 1$
4. $\log_5\left(\frac{(x-1)^2}{x+3}\right) = 1$
5. $\frac{(x-1)^2}{x+3} = 5^1 = 5$
6. $(x-1)^2 = 5(x+3) \Rightarrow x^2 - 2x +1 =5x +15 \Rightarrow x^2 -7x -14=0$
7. $x=\frac{7 \pm \sqrt{49+56}}{2}=\frac{7 \pm \sqrt{105}}{2}$. Chọn $x>1$.

Kết luận nghiệm phù hợp điều kiện xác định.

8. Bài tập thực hành

• Giải phương trình:$\log_4(x-3) +\log_4(x+1)=1$
• Tìm nghiệm của$\log_2(x^2-5x+6)=2$
• Giải bất phương trình:$\log_5(2x-1) < 2$
• Tìm tập xác định của hàm số:$f(x)=\log_3(3x - x^2)$

9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán hàm logarit

• Luôn xác định điều kiện xác định trước khi biến đổi hoặc giải bài toán.
• Không quên kiểm tra nghiệm cuối cùng với điều kiện đã xác định.
• Cẩn trọng với các phép biến đổi logarit, nhất là khi có nhiều biểu thức phức tạp.
• Tránh sai sót với tính chất đồng biến/nghịch biến của hàm logarit khi giải bất phương trình.
• Ghi nhớ kỹ các công thức cơ bản và luyện tập nhận diện dạng bài để chọn phương pháp giải hợp lý.