1. Giới thiệu về hàm phân thức

Hàm phân thức là một hàm số được biểu diễn dưới dạng tỷ số của hai đa thức, có dạng tổng quát$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$với$P(x)$và $Q(x)$là đa thức và $Q(x)<br>eq0$. Loại bài toán này thường xuất hiện trong phần Giải tích lớp 12 và trong kỳ thi THPT Quốc gia. Việc nắm vững cách giải bài toán hàm phân thức giúp học sinh nâng cao kỹ năng phân tích, tính toán và khảo sát hàm số một cách hệ thống.

Tầm quan trọng của hàm phân thức trong chương trình Toán lớp 12

Trong chương trình Toán lớp 12, hàm phân thức là nội dung kết hợp nhiều kỹ năng: xác định miền xác định, rút gọn biểu thức, khảo sát tính liên tục, tính đơn điệu, tiệm cận và vẽ đồ thị. Thành thạo chủ đề này giúp học sinh giải quyết các bài toán khảo sát hàm số và phương trình, bất phương trình chứa phân thức.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán hàm phân thức

* Tử số và mẫu số đều là đa thức; cần chú ý đến bậc của cả hai đa thức trước khi rút gọn.

* Yêu cầu xác định miền xác định:$Q(x)<br>eq0$, thường là tập các giá trị loại trừ.

* Có thể rút gọn nếu$P(x)$và $Q(x)$có nhân tử chung, giúp đơn giản hóa biểu thức.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải nhanh và chính xác bài toán hàm phân thức, bạn nên thực hiện tuần tự các bước sau.

* Bước 1: Xác định miền xác định của hàm: giải$Q(x)=0$.

* Bước 2: Rút gọn biểu thức nếu có thể bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử.

* Bước 3: Khảo sát tính liên tục và xác định tiệm cận đứng, ngang hoặc xiên.

* Bước 4: Lập bảng biến thiên, đánh dấu các điểm đặc biệt và tiệm cận.

* Bước 5: Vẽ đồ thị hoặc giải phương trình, bất phương trình dựa trên kết quả đã khảo sát.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Dưới đây là ví dụ minh họa chi tiết giúp bạn hình dung cách áp dụng chiến lược trên.

Ví dụ: Cho hàm số $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$.

Bước 1: Xác định miền xác định: giải $x-2=0\implies x<br>eq2$. Do đó $\mathcal D=\mathbb R\setminus\{2\}$.

Bước 2: Rút gọn biểu thức:

Bước 3: Khảo sát tính liên tục và tiệm cận: hàm số đồng nhất với đường thẳng$y=x+2$trên mỗi khoảng, nhưng có lỗ tại$x=2$(tiệm cận đứng). Vì sau khi rút gọn bậc tử và mẫu chênh lệch 1, không có tiệm cận ngang nhưng có tiệm cận xiên y=x+2.

Bước 4: Lập bảng biến thiên:

- Khi$x<2$,$f(x)=x+2$tăng tuyến tính.

- Khi$x>2$,$f(x)=x+2$cũng tăng nhưng xuất hiện lỗ tại$x=2$.

Tiệm cận xiên:$y=x+2.$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

* Công thức hiệu hai bình phương:$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$

* Phân tích đa thức thành nhân tử: dùng nhân tử chung, nhóm hạng tử.

* Phương pháp phân tích thành phần đơn (partial fractions) để giải tích phân hoặc bất phương trình phân thức.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

* Khảo sát hàm phân thức bậc cao: chia đa thức để tách phần nhiều hơn và phần dư.

* Giải phương trình phân thức: quy đồng mẫu và chuyển thành phương trình đa thức.

* Giải bất phương trình phân thức: xây dựng sơ đồ dấu cho tử và mẫu.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Ví dụ: Giải phương trình$\frac{2x+3}{x-1}-\frac{x-2}{x+2}=1.$

Bước 1: Điều kiện xác định:$x<br>eq1,\;x<br>eq-2$.

Bước 2: Quy đồng mẫu với$(x-1)(x+2)$:$\frac{(2x+3)(x+2)-(x-2)(x-1)}{(x-1)(x+2)}=1.$

Bước 3: Phân tích tử số: $(2x+3)(x+2)-(x-2)(x-1)=2x^2+7x+6-(x^2-x-2x+2)=x^2+8x+4. Giải$x^2+8x+4=0\implies x=-4 \pm 2\sqrt3,$ thoả mãn điều kiện xác định.

8. Bài tập thực hành

1. Giải và khảo sát hàm số $f(x)=\frac{x^2+x-6}{x+3}$theo thứ tự: xác định miền, rút gọn, khảo sát tiệm cận.

2. Tìm tập xác định và tiệm cận của$f(x)=\frac{3x-1}{x^2-1}$.

3. Giải phương trình$\frac{x+5}{x-2}=2$.

9. Mẹo và lưu ý

* Luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi biến đổi.

* Việc rút gọn phải đảm bảo không bỏ sót giá trị không xác định.

* Khi khảo sát tiệm cận, chú ý đến bậc của tử và mẫu số.

* Sử dụng bảng biến thiên để hệ thống hóa kết quả khảo sát.

* Ghi rõ từng bước giải để dễ dàng kiểm tra và sửa lỗi.