1. Giới thiệu về bài toán hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất

Trong chương trình Toán lớp 12, dạng bài toán về hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất (hay còn gọi là hàm phân thức hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất) đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy hàm số, khảo sát và vẽ đồ thị, giải bất phương trình, cực trị. Việc nắm vững và áp dụng thành thạo "cách giải bài toán hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất" sẽ giúp học sinh hiểu sâu hơn về bản chất hàm số, chuẩn bị tốt cho các kỳ thi THPT quốc gia, cũng như vận dụng mạnh trong tuyển sinh đại học và giải toán ứng dụng.

2. Đặc điểm của bài toán hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất

Hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất có dạng tổng quát: $y = \frac{ax^2 + bx + c}{dx + e} \qquad (a \neq 0, d <br> \neq 0)$

- Tử số là một biểu thức bậc hai, mẫu số là một biểu thức bậc nhất.
- Hàm số xác định với mọi$x$sao cho$dx + e <br> \neq 0$.
- Đặc điểm nổi bật: hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận xiên, giá trị đặc biệt, cực trị.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Cách giải bài toán hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất gồm các bước tổng quát:

• Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số.
• Bước 2: Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên (và cả tiệm cận ngang nếu có).
• Bước 3: Tìm điểm đặc biệt (giá trị không xác định, giá trị đặc biệt...)
• Bước 4: Tính đạo hàm, xác định cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến.
• Bước 5: Tìm giao điểm với trục tọa độ.
• Bước 6: Vẽ đồ thị sơ bộ, phân tích hành vi và giải các bài toán liên quan.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa: Cho hàm số $y = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2}$. Hãy khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

Bước 1: Xác định tập xác định

- Tập xác định$D$:$x - 2 <br> \neq 0 \Rightarrow x <br> \neq 2$

Vậy $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$

Bước 2: Tiệm cận đứng và tiệm cận xiên

- Tiệm cận đứng: Nghiệm của mẫu$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

- Tiệm cận xiên: Chia tử cho mẫu:$\frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2} = 2x + 1 + \frac{3}{x - 2}$

Như vậy, đường thẳng$y = 2x + 1$là tiệm cận xiên.

Bước 3: Giao điểm với trục hoành và tung

- Giao với$Oy$:$x=0 \Rightarrow y=\frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$. Vậy$A(0;-\frac{1}{2})$.

- Giao với$Ox$:$2x^2 - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x=1$hoặc$x=\frac{1}{2}$.

Vậy hai giao điểm là $B(1;0)$và $C(\frac{1}{2};0)$.

Bước 4: Tính đạo hàm, tìm cực trị và các khoảng biến thiên

- Đạo hàm:$y' = \frac{(4x - 3)(x-2) - (2x^2 - 3x + 1) \cdot 1}{(x-2)^2}$

Tính tử số của y':

$(4x - 3)(x-2) - (2x^2 - 3x + 1) = (4x^2 - 8x - 3x + 6) - (2x^2 - 3x + 1)$

$= 4x^2 - 11x + 6 - 2x^2 + 3x - 1$

$= 2x^2 - 8x + 5$

Vậy:$y' = \frac{2x^2 - 8x + 5}{(x-2)^2}$

- Tìm cực trị: Giải $2x^2 - 8x + 5 = 0 \Leftrightarrow x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 40}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{6}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Hàm có hai điểm cực trị tại $x_1 = 2 + \frac{\sqrt{6}}{2}$, $x_2 = 2 - \frac{\sqrt{6}}{2}$(lưu ý loại$x=2$ khỏi tập xác định).

- Xét dấu đạo hàm để xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến (chia khoảng tại nghiệm của tử và nghiệm mẫu). Vẽ bảng biến thiên dựa trên dấu của tử số.

Bước 5: Vẽ đồ thị hàm số

- Dựa vào các yếu tố trên: tập xác định, tiệm cận, giao điểm, cực trị, bảng biến thiên, ta vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác hoặc sử dụng phần mềm như Geogebra để kiểm tra.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Tập xác định:$dx + e <br> \neq 0$.
• Tiệm cận đứng:$x_0$là nghiệm của$dx + e = 0$.
• Tiệm cận xiên: Chia tử số cho mẫu số, phần nguyên là tiệm cận xiên:$y = Ax + B$.
• Công thức đạo hàm:$y' = \frac{(T'(x) M(x) - T(x) M'(x))}{(M(x))^2}$trong đó $T(x)$là tử số,$M(x)$là mẫu số.
• Giao điểm với$Oy$:$x=0$.
• Giao điểm với$Ox$:$T(x) = 0 \Rightarrow$giải phương trình bậc hai.

6. Các biến thể và điều chỉnh chiến lược

• Trường hợp tử số không phải bậc hai (có thể rút gọn với mẫu), cần làm gọn biểu thức trước khi khảo sát.
• Nếu đề bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất trên một đoạn, cần kiểm tra giá trị tại các biên.
• Nếu hàm có tham số, nên xét các trường hợp riêng (sử dụng thanh trượt và quan sát đồ thị với phần mềm Geogebra để trực quan hóa).
• Bài toán bất phương trình chứa phân thức dạng này cần phân tích dấu kỹ lưỡng.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập mẫu: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:$y = \frac{3x^2 + 2x - 4}{x + 1}$.

• Bước 1: Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
• Bước 2: Tiệm cận đứng:$x = -1$; Tiệm cận xiên: Chia:$y = 3x - 1 + \frac{-3}{x+1}$, vậy$y = 3x - 1$.
• Bước 3: Giao $Oy$: $x=0$; $y=-4$.
  Giao $Ox$: $3x^2 + 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 48}}{6} = \frac{-2 \pm 7}{6}$, tức $x_1 = \frac{5}{6}$, $x_2 = -\frac{3}{2}$.
• Bước 4: Đạo hàm$y' = \frac{(6x+2)(x+1) - (3x^2+2x-4)*1}{(x+1)^2} = \frac{6x^2 + 8x + 2 + 4}{(x+1)^2} = \frac{6x^2 + 8x + 6}{(x+1)^2}$.
  
  Giải$6x^2 + 8x + 6=0$ để tìm cực trị.

Lưu ý: Trình bày bảng biến thiên, kết luận sự biến thiên và vẽ đồ thị dựa vào các yếu tố đã tìm được.

8. Bài tập thực hành

Hãy tự làm các bài tập sau và thực hiện đúng trình tự các bước đã hướng dẫn:

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + 2x - 3}{2x - 1}$.
2. Giải bất phương trình$\frac{2x^2 - x + 4}{x + 3} > 0$.
3. Với hàm$y = \frac{ax^2 + bx + c}{x + 1}$, hãy sử dụng phần mềm Geogebra để thay đổi$a, b, c$và quan sát sự thay đổi của đồ thị.

9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất

• Luôn kiểm tra lại tập xác định và loại trừ các giá trị làm mẫu bằng 0.
• Khi chia tử cho mẫu để tìm tiệm cận xiên, phải làm đúng phép chia đa thức.
• Tính toán cẩn thận đạo hàm để không nhầm lẫn dấu.
• Vẽ đồ thị với phần mềm Geogebra để kiểm tra lại các nhận định của mình.
• Nếu hàm số chứa tham số, nên thay các giá trị cụ thể và dự đoán xu hướng tổng quát.
• Khi giải bất phương trình, phân tích kỹ các khoảng xác định và chú ý dấu của các nhân tử.

Hy vọng các hướng dẫn trên đã giúp bạn thành thạo "cách giải bài toán hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất". Hãy luyện tập thường xuyên để nắm chắc kiến thức này!