1. Giới thiệu về bài toán hàm phân thức

Hàm phân thức là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, thường xuất hiện trong các đề kiểm tra, đề thi THPT Quốc gia. Các bài toán liên quan đến hàm phân thức giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số, hiểu sâu về đặc điểm, tính chất cũng như vận dụng linh hoạt các kỹ năng phân tích, tính toán và vẽ đồ thị.

2. Đặc điểm của bài toán hàm phân thức

• Hàm phân thức là hàm số có dạng$y = \frac{P(x)}{Q(x)}$, trong đó $P(x)$,$Q(x)$là các đa thức và $Q(x) <br> \neq 0$.
• Hàm phân thức có thể xác định trên tập xác định$D = \{x \mid Q(x) <br> \neq 0\}$.
• Thường gặp các bài toán về tìm tập xác định, tiệm cận, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, khảo sát và vẽ đồ thị.
• Các hàm phân thức bậc nhất/trên bậc nhất và bậc hai/trên bậc nhất là các dạng phổ biến.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán hàm phân thức

1. Phân tích và xác định bài toán: Đọc kỹ yêu cầu, xác định đề bài hỏi gì (tập xác định, tiệm cận, cực trị, vẽ đồ thị, ...).
2. Đưa hàm phân thức về dạng đơn giản hoặc chuẩn nếu có thể.
3. Sử dụng các bước giải tổng quát, kết hợp sử dụng các công thức, kỹ thuật phù hợp với từng dạng.
4. Tổng hợp kết quả và kết luận theo yêu cầu đề.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

1. Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số.
2. Bước 2: Tìm các tiệm cận đứng, tiệm cận ngang hoặc xiên.
3. Bước 3: Tính đạo hàm và khảo sát sự biến thiên của hàm số.
4. Bước 4: Tìm các điểm cực trị (max, min), giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
5. Bước 5: Dựng bảng biến thiên và vẽ đồ thị.

Ví dụ minh họa: Cho hàm số $y = \frac{2x+1}{x-1}$. Hãy phân tích và vẽ đồ thị hàm số.

1. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
2. Tiệm cận đứng:$x = 1$(do mẫu số bằng 0).
3. Tiệm cận ngang: Lấy giới hạn khi$x \to \pm \infty$:$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x+1}{x-1} = 2$Vậy$y = 2$là tiệm cận ngang.
4. Đạo hàm:$y' = \frac{(2)(x-1) - (2x+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x-2-2x-1}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$.
5. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định vì $y' < 0$với mọi$x <br> \neq 1$.
6. Không có cực trị.

Bảng biến thiên và đồ thị có thể vẽ như hướng dẫn ở sách giáo khoa.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Tập xác định:$D = \{x \mid Q(x) <br> \neq 0\}$
• Tiệm cận đứng: Các giá trị $x$làm$Q(x) = 0$mà $P(x) <br> \neq 0$.
• Tiệm cận ngang: So sánh bậc của$P(x)$và $Q(x)$:
• - Nếu bậc$P < Q$:$y = 0$là tiệm cận ngang.
• - Nếu bậc$P = Q$:$y = \frac{a}{b}$với$a$,$b$là hệ số cao nhất của$P(x)$,$Q(x)$.
• - Nếu bậc$P > Q$: Không có tiệm cận ngang, có thể có tiệm cận xiên.
• Tiệm cận xiên: Nếu $\text{bậc}~P(x) = \text{bậc}~Q(x) + 1$ , tìm phương trình đường thẳng $y = ax + b$ bằng phép chia đa thức.
• Đạo hàm phân thức:$y' = \frac{P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x)}{[Q(x)]^2}$

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Tìm giá trị của tham số để hàm số thỏa mãn điều kiện xác định, nghịch biến, đồng biến, đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
• Giải phương trình, bất phương trình chứa hàm phân thức.
• Khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân thức chứa tham số.
• Với từng biến thể, cần nhận diện dạng bài và áp dụng linh hoạt các bước cơ bản, kết hợp đối chiếu điều kiện cụ thể của đề.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài toán: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 - 4x + 3}{x-2}$.

1. Tập xác định: $Q(x) = x - 2 \Rightarrow x <br> \neq 2$. Vậy $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
2. Tiệm cận đứng:$x = 2$.
3. Chia đa thức:$x^2 - 4x + 3 = (x - 2)(x - 2) - 1 = (x - 2)^2 - 1$. Vậy$y = x - 2 + \frac{-1}{x-2}$.
4. Tiệm cận xiên:$y = x - 2$(vì bậc tử lớn hơn bậc mẫu 1 đơn vị).
5. Giới hạn:$\lim_{x \to 2^+} y = +\infty,\quad \lim_{x \to 2^-} y = -\infty$
6. Đạo hàm:$y' = \frac{[2x-4](x-2) - (x^2-4x+3) \cdot 1}{(x-2)^2}$
7. Rút gọn:$y' = \frac{2x^2 - 4x - 4x + 8 - x^2 + 4x - 3}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 5}{(x-2)^2}$
8. Xét dấu tử $x^2 - 4x + 5 > 0$với mọi$x$(vì $\Delta' = 4 - 5 < 0$), vậy y' luôn dương, hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.
9. Không có cực trị.
10. Bảng biến thiên và vẽ đồ thị: Dựa vào các đặc điểm trên, đồ thị là đường hypebol phân nhánh không cắt trục tung, có tiệm cận đứng$x=2$và tiệm cận xiên$y = x - 2$.

8. Bài tập thực hành

Học sinh hãy tự làm các bài sau:

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{x+1}{x-3}$.
2. Tìm các giá trị tham số $a$để hàm số$y = \frac{x+a}{x-1}$luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.
3. Giải bất phương trình$\frac{x^2 - 1}{x-1} > 0$.

9. Mẹo và lưu ý giúp tránh nhầm lẫn

• Luôn xác định chắc chắn tập xác định đầu tiên.
• Chú ý dấu của đạo hàm khi xét đồng biến, nghịch biến.
• Khi chia đa thức, đừng bỏ qua phần còn lại để tìm tiệm cận xiên.
• Chú ý tới điều kiện xác định khi giải phương trình/hệ bất phương trình có chứa phân thức.
• Vẽ đồ thị đúng tiệm cận, đúng trục và nhánh.