Cách giải bài toán Hàm sản xuất – Hướng dẫn chiến lược cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán Hàm sản xuất

Bài toán hàm sản xuất đóng một vai trò quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt với các dạng bài tối ưu hóa liên quan đến thực tiễn kinh tế, kỹ thuật, quản lý. Loại bài toán này đòi hỏi học sinh vận dụng kiến thức về hàm số, đạo hàm – đặc biệt là tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất – để xác định phương án sản xuất hoặc phân phối hợp lý nhất nhằm đạt hiệu quả cao.

2. Đặc điểm của bài toán Hàm sản xuất

- Thường cho một hoặc nhiều biến đầu vào (như nguyên vật liệu, máy móc, lao động).

- Mô tả sự phụ thuộc giữa sản lượng (đầu ra) với các biến thông qua một hàm số:$Q = f(x, y,...)$.

- Có ràng buộc về tài nguyên, chi phí…

- Yêu cầu tối ưu hóa (tối đa hoặc tối thiểu) sản lượng, lợi nhuận hoặc chi phí.

3. Chiến lược tổng thể để giải quyết bài toán

• 1. Phân tích kỹ đề bài, xác định các đại lượng, biến số và mối quan hệ giữa chúng.
• 2. Thiết lập hàm sản xuất hoặc hàm mục tiêu (sản lượng, lợi nhuận, chi phí…).
• 3. Diễn đạt các ràng buộc thành phương trình hoặc bất phương trình.
• 4. Biến đổi để đưa về bài toán một ẩn nếu cần (bằng cách sử dụng ràng buộc).
• 5. Áp dụng kỹ thuật đạo hàm để tìm cực trị.
• 6. Kiểm tra các điều kiện xác định và chọn ra nghiệm thích hợp.

4. Các bước giải quyết chi tiết – Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một xưởng sản xuất có hàm sản xuất được mô tả bởi$Q = 2x^{1/2}y^{1/2}$, trong đó $x$và $y$lần lượt là số đơn vị lao động và máy móc. Xưởng có 100 triệu đồng để thuê lao động (giá 1 triệu / đơn vị) và máy móc (giá 2 triệu / đơn vị). Tìm số đơn vị lao động và máy móc để $Q$ đạt cực đại.

• Bước 1. Gọi$x$,$y$lần lượt là số đơn vị lao động và máy móc.
• Bước 2. Hàm sản xuất:$Q = 2x^{1/2}y^{1/2}$.
• Bước 3. Ràng buộc chi phí:$x + 2y = 100$(do$x$giá 1 triệu,$y$giá 2 triệu).
• Bước 4. Giải phương trình ràng buộc:$y = \frac{100 - x}{2}$, với$0 < x < 100$.
• Bước 5. Thay$y$vào hàm sản xuất để đưa về một ẩn:

$$Q = 2 \sqrt{x} \sqrt{\frac{100-x}{2}}$$
= 2 \sqrt{\frac{x(100-x)}{2}}
= \sqrt{2x(100-x)}

• Bước 6. Tìm cực đại:

$Q^2 = 2x(100-x)$
Lấy đạo hàm theo$x$và cho$Q'$bằng 0:

$$Q^2 = 200x - 2x^2 \\ \Rightarrow \frac{dQ^2}{dx} = 200 - 4x = 0 \\ \Rightarrow x = 50$$

Suy ra$y = \frac{100 - 50}{2} = 25$. Vậy phương án tối ưu: Thuê 50 đơn vị lao động và 25 đơn vị máy móc.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Hàm sản xuất bậc nhất dạng bậc$n$:$Q = A x^{\alpha} y^{\beta}$
• Kỹ thuật đưa về bài toán một ẩn: sử dụng ràng buộc để thay biến.
• Tìm cực trị bằng đạo hàm: Giải$\frac{dQ}{dx} = 0$(hoặc$\frac{dQ^2}{dx} = 0$cho dễ tính).
• Kiểm tra điều kiện xác định của ẩn (lớn hơn 0, nằm trong miền xác định).

6. Biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

- Hàm nhiều biến: Thường đưa về một ẩn bằng cách sử dụng tất cả ràng buộc.

- Nhiều ràng buộc: Kết hợp các ràng buộc để giảm số lượng biến.

- Nếu bài toán không có yêu cầu tối ưu mà đòi hỏi so sánh phương án, chỉ cần tính giá trị hàm với các giá trị đề cho.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Một xí nghiệp có hàm sản xuất$Q = 10x^{0.5}y^{0.5}$, chi phí thuê mỗi đơn vị $x$là 1 triệu đồng,$y$là 3 triệu đồng. Tổng ngân sách là 120 triệu đồng. Tìm$x$,$y$để$Q$lớn nhất.

1. Gọi$x$,$y$số đơn vị của hai yếu tố.
2. Ràng buộc:$x + 3y = 120 \Rightarrow y = \frac{120 - x}{3}$,$0 < x < 120$.
3. Hàm sản xuất: $Q = 10 \sqrt{x} \sqrt{y} = 10 \sqrt{x} \sqrt{\frac{120-x}{3}}$
4. Đặt$Q^2 = 100x \frac{120-x}{3} = \frac{100x(120 - x)}{3}$.
5. Lấy đạo hàm:$\frac{dQ^2}{dx} = \frac{100(120 - 2x)}{3}$.
6. Cho$\frac{dQ^2}{dx} = 0 \Rightarrow 120 - 2x = 0 \Rightarrow x = 60$.
7. Khi đó $y = \frac{120 - 60}{3} = 20$.
8. Vậy tối ưu:$x = 60$,$y = 20$.

8. Bài tập thực hành

• Một công ty có hàm sản xuất$Q = 4x^{0.6}y^{0.4}$, với tổng chi phí thuê lao động và máy móc là 80 triệu đồng, lao động 1 triệu/đơn vị, máy móc 2 triệu/đơn vị. Tìm số lao động và máy móc để $Q$lớn nhất.
• Xưởng có hàm sản xuất$Q = x^{0.3}y^{0.7}$, ràng buộc$x + y = 50$. Tìm$x, y$để$Q$lớn nhất.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra điều kiện xác định của các biến:$x > 0, y > 0$.
• Không quên xét nghiệm tại các biên nếu hàm xác định trên đoạn hữu hạn.
• Đạo hàm cần đặt bằng 0 và kiểm tra giá trị ‘cực trị’ có thỏa mãn ràng buộc không.
• Không nhầm lẫn giữa các chi phí đơn vị, hàm mục tiêu và ràng buộc tài nguyên.