Blog

Lớp 12

Chiến lược giải quyết bài toán về hàm số lượng giác lớp 12 hiệu quả

T
Tác giả
•
•8 phút đọc
Chia sẻ:
9 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán hàm số lượng giác lớp 12

Hàm số lượng giác là một trong những chủ đề quan trọng bậc nhất trong chương trình Toán lớp 12, xuất hiện nhiều trong các đề kiểm tra, thi học kỳ và đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia. Bài toán hàm số lượng giác giúp học sinh rèn luyện kỹ năng nhận diện hàm số, phân tích đặc điểm đồ thị, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, xét sự biến thiên và giải các bài toán thực tiễn. Việc nắm vững các chiến lược giải quyết bài toán này không chỉ giúp đạt điểm cao mà còn phát triển khả năng tư duy logic toán học.

2. Đặc điểm của bài toán hàm số lượng giác

Các dạng bài toán hàm số lượng giác thường gặp là:

  • - Xét tính đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số lượng giác
  • - Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác trên một khoảng/đoạn
  • - Nghiệm và sự tương giao với các đường thẳng (ví dụ: giải phương trìnhy=f(x)y = f(x))
  • - Vẽ và nhận diện đồ thị hàm số lượng giác
  • - Ứng dụng thực tiễn: chuyển động tròn đều, bài toán hình học liên quan đến lượng giác

    • Điểm đặc trưng của hàm số lượng giác là tính tuần hoàn, đối xứng, có giới hạn xác định, sự biến đổi thông qua các công thức lượng giác và khả năng biểu diễn dạng tổ hợp giữa các hàm sin, cos, tan, ...

    3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán hàm số lượng giác

  • Bước 1: Xác định rõ dạng hàm số lượng giác cần giải (sin, cos, tan, cot hay phối hợp)
  • Bước 2: Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác để đơn giản hoá biểu thức nếu cần thiết.
  • Bước 3: Tìm tập xác định của hàm số.
  • Bước 4: Tính đạo hàm để xét sự biến thiên, tìm cực trị, giá trị lớn nhất nhỏ nhất.
  • Bước 5: Vẽ bảng biến thiên và phân tích đồ thị.
  • Bước 6: Giải quyết từng yêu cầu cụ thể của bài toán (tìm GTLN, GTNN, nghiệm, tương giao, ...).

    • 4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y=2sin⁡x−3cos⁡xy = 2\sin x - 3\cos xtrên đoạn[0;2extπ][0;2ext{π}].

  • - Bước 1: Nhận diện dạng hàm và xác định tập xác định:x ∈[0;2π]x \ \in [0;2\pi]
  • - Bước 2: Đưa về dạng Asin⁡(x+φ)A\sin(x+\varphi) bằng cách dùng công thức:
    A=a2+b2,tan⁡φ=baA = \sqrt{a^2 + b^2}, \tan \varphi = \frac{b}{a}
    Với y=2sin⁡x−3cos⁡xy = 2\sin x - 3\cos x, a=2a = 2, b=−3b = -3
    A=22+(−3)2=4+9=13<br>A = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} <br>\tan \varphi = \frac{-3}{2}<br>Vậy<br>Vậyy = \sqrt{13}\sin \left(x + \\arctan\left(\frac{-3}{2}\right)\right)$
  • - Bước 3: Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của sin⁡(… )\sin(\dots)là 11và −1-1 nên:
    ymax=13,ymin=−13y_{max} = \sqrt{13},\\ y_{min} = -\sqrt{13}
  • - Bước 4: Kiểm tra ymaxy_{max}, yminy_{min}có đạt được trong đoạn[0;2π][0;2\pi]không bằng cách giải
    sin⁡(x+arctan(−32))=±1\sin \left(x + \\arctan\left(\frac{-3}{2}\right)\right)= \pm 1
    .

    • Ví dụ 2: Tìm tập xác định và xét tính đơn điệu của hàm số y=tan⁡(2x+π4)y = \tan(2x + \frac{\pi}{4}).

  • - Tập xác định:tan⁡(θ)\tan(\theta)xác định khiθ≠π2+kπ\theta \neq \frac{\pi}{2} + k\pivớik∈Zk \in \mathbb{Z}.
    Nên2x+π4≠π2+kπ2x + \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi
    ⇒2x≠π2−π4+kπ=π4+kπ\Rightarrow 2x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + k\pi = \frac{\pi}{4} + k\pi
    ⇒x≠π8+kπ2\Rightarrow x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}
  • - Đạo hàm y′=2sec⁡2(2x+π4)y' = 2\sec^2\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) luôn dương, do đó hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

    • 5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Công thức tổng-quy, hiệu-quy:

    sin⁡A±sin⁡B=2sin⁡A±B2cos⁡A∓B2<br>\sin A \pm \sin B = 2\sin \frac{A \pm B}{2}\cos \frac{A \mp B}{2} <br>\cos A + \cos B = 2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}<br>cos⁡A−cos⁡B=−2sin⁡A+B2sin⁡A−B2<br> \cos A - \cos B = -2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}
  • Công thức chuyển đổi asin⁡x+bcos⁡x=a2+b2sin⁡(x+φ)a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi)vớitan⁡φ=ba\tan \varphi = \frac{b}{a}.
  • Công thức đạo hàm:
    - ddxsin⁡x=cos⁡x\frac{d}{dx}\sin x = \cos x
    - ddxcos⁡x=−sin⁡x\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x
    - ddxtan⁡x=sec⁡2x\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x
    - ddxcot⁡x=−csc⁡2x\frac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x
  • Các giá trị lượng giác đặc biệt của góc:0,π6,π4,π3,π2,π0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \pi,...
    • Hình minh họa: Đồ thị hàm số y = 2 sin x – 3 cos x trên [0, 2π], đánh dấu điểm cực đại y = √13 tại x ≈ 2.55 và điểm cực tiểu y = -√13 tại x ≈ 5.70
    Đồ thị hàm số y = 2 sin x – 3 cos x trên [0, 2π], đánh dấu điểm cực đại y = √13 tại x ≈ 2.55 và điểm cực tiểu y = -√13 tại x ≈ 5.70

    6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

    Tuỳ vào đề bài, yêu cầu có thể là:
    - Hàm số lượng giác chứa nhiều hơn 1 biến số
    - Tìm điều kiện của tham số để hàm có tính chất đặc biệt
    - Hàm số lượng giác kết hợp với căn, lôgarit, hàm bậc nhất
    - Bài toán thực tiễn (chuyển động tuần hoàn, ứng dụng hình học)

    Hãy:
    - Luôn kiểm tra tập xác định kỹ lưỡng
    - Đưa về dạng tổng quát, sử dụng đổi biến hoặc setsinxsinx,cosxcosxthànhttkhi cần giải phương trình
    - Kết hợp nhiều kỹ thuật: đạo hàm, bất đẳng thức, biến đổi trị tuyệt đối,...

    7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

    Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y=sin⁡x+cos⁡xy = \sin x + \cos xtrên đoạn[0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right].

  • * Bước 1: Nhận diện dạng hàm số - đây là tổng 2 hàm số sin, cos.
  • * Bước 2: Đưa về dạng Asin⁡(x+α)A\sin(x+\alpha)vớiA=12+12=2A = \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}, tan⁡α=1⇒α=π4\tan \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{4}.
    Vậy:
    y=2sin⁡(x+π4)y = \sqrt{2}\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)
  • * Bước 3: Tìm xxđể
    sin⁡(x+π4)<spanclass="math−inline"><spanclass="katex"><spanclass="katex−mathml"><mathxmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mtext>đạ</mtext><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>i</mi><moveraccent="true"><mi>a</mi><mo>ˊ</mo></mover><mi>t</mi><mi>r</mi><mtext>ị</mtext><mi>l</mi><mtext>ớ</mtext><mi>n</mi><mi>n</mi><mi>h</mi><moveraccent="true"><moveraccent="true"><mi>a</mi><mo></mo></mover><mo>ˊ</mo></mover><mi>t</mi><moseparator="true">,</mo><mi>n</mi><mi>h</mi><mtext>ỏ</mtext><mi>n</mi><mi>h</mi><moveraccent="true"><moveraccent="true"><mi>a</mi><mo></mo></mover><mo>ˊ</mo></mover><mi>t</mi><mi>t</mi><mi>r</mi><moveraccent="true"><mi>e</mi><mo></mo></mover><mi>n</mi></mrow><annotationencoding="application/x−tex">đạtgiaˊtrịlớnnha^ˊt,nhỏnha^ˊttre^n</annotation></semantics></math></span><spanclass="katex−html"aria−hidden="true"><spanclass="base"><spanclass="strut"style="height:1.1523em;vertical−align:−0.1944em;"></span><spanclass="mordlatinfallback">đ</span><spanclass="mord">ạ</span><spanclass="mordmathnormal">t</span><spanclass="mordmathnormal"style="margin−right:0.03588em;">g</span><spanclass="mordmathnormal">i</span><spanclass="mordaccent"><spanclass="vlist−t"><spanclass="vlist−r"><spanclass="vlist"style="height:0.6944em;"><spanstyle="top:−3em;"><spanclass="pstrut"style="height:3em;"></span><spanclass="mordmathnormal">a</span></span><spanstyle="top:−3em;"><spanclass="pstrut"style="height:3em;"></span><spanclass="accent−body"style="left:−0.25em;"><spanclass="mord">ˊ</span></span></span></span></span></span></span><spanclass="mordmathnormal">t</span><spanclass="mordmathnormal"style="margin−right:0.02778em;">r</span><spanclass="mord">ị</span><spanclass="mordmathnormal"style="margin−right:0.01968em;">l</span><spanclass="mord">ớ</span><spanclass="mordmathnormal">nnh</span><spanclass="mordaccent"><spanclass="vlist−t"><spanclass="vlist−r"><spanclass="vlist"style="height:0.9579em;"><spanstyle="top:−3em;"><spanclass="pstrut"style="height:3em;"></span><spanclass="mordaccent"><spanclass="vlist−t"><spanclass="vlist−r"><spanclass="vlist"style="height:0.6944em;"><spanstyle="top:−3em;"><spanclass="pstrut"style="height:3em;"></span><spanclass="mordmathnormal">a</span></span><spanstyle="top:−3em;"><spanclass="pstrut"style="height:3em;"></span><spanclass="accent−body"style="left:−0.25em;"><spanclass="mord"></span></span></span></span></span></span></span></span><spanstyle="top:−3.2634em;"><spanclass="pstrut"style="height:3em;"></span><spanclass="accent−body"style="left:−0.25em;"><spanclass="mord">ˊ</span></span></span></span></span></span></span><spanclass="mordmathnormal">t</span><spanclass="mpunct">,</span><spanclass="mspace"style="margin−right:0.1667em;"></span><spanclass="mordmathnormal">nh</span><spanclass="mord">ỏ</span><spanclass="mordmathnormal">nh</span><spanclass="mordaccent"><spanclass="vlist−t"><spanclass="vlist−r"><spanclass="vlist"style="height:0.9579em;"><spanstyle="top:−3em;"><spanclass="pstrut"style="height:3em;"></span><spanclass="mordaccent"><spanclass="vlist−t"><spanclass="vlist−r"><spanclass="vlist"style="height:0.6944em;"><spanstyle="top:−3em;"><spanclass="pstrut"style="height:3em;"></span><spanclass="mordmathnormal">a</span></span><spanstyle="top:−3em;"><spanclass="pstrut"style="height:3em;"></span><spanclass="accent−body"style="left:−0.25em;"><spanclass="mord"></span></span></span></span></span></span></span></span><spanstyle="top:−3.2634em;"><spanclass="pstrut"style="height:3em;"></span><spanclass="accent−body"style="left:−0.25em;"><spanclass="mord">ˊ</span></span></span></span></span></span></span><spanclass="mordmathnormal">tt</span><spanclass="mordmathnormal"style="margin−right:0.02778em;">r</span><spanclass="mordaccent"><spanclass="vlist−t"><spanclass="vlist−r"><spanclass="vlist"style="height:0.6944em;"><spanstyle="top:−3em;"><spanclass="pstrut"style="height:3em;"></span><spanclass="mordmathnormal">e</span></span><spanstyle="top:−3em;"><spanclass="pstrut"style="height:3em;"></span><spanclass="accent−body"style="left:−0.1944em;"><spanclass="mord"></span></span></span></span></span></span></span><spanclass="mordmathnormal">n</span></span></span></span></span>[0,π2]\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mtext>đạ</mtext><mi>t</mi><mi>g</mi><mi>i</mi><mover accent="true"><mi>a</mi><mo>ˊ</mo></mover><mi>t</mi><mi>r</mi><mtext>ị</mtext><mi>l</mi><mtext>ớ</mtext><mi>n</mi><mi>n</mi><mi>h</mi><mover accent="true"><mover accent="true"><mi>a</mi><mo>^</mo></mover><mo>ˊ</mo></mover><mi>t</mi><mo separator="true">,</mo><mi>n</mi><mi>h</mi><mtext>ỏ</mtext><mi>n</mi><mi>h</mi><mover accent="true"><mover accent="true"><mi>a</mi><mo>^</mo></mover><mo>ˊ</mo></mover><mi>t</mi><mi>t</mi><mi>r</mi><mover accent="true"><mi>e</mi><mo>^</mo></mover><mi>n</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.1523em;vertical-align:-0.1944em;"></span><span class="mord latin_fallback">đ</span><span class="mord">ạ</span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">g</span><span class="mord mathnormal">i</span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.6944em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord mathnormal">a</span></span><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.25em;"><span class="mord">ˊ</span></span></span></span></span></span></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="mord">ị</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.01968em;">l</span><span class="mord">ớ</span><span class="mord mathnormal">nnh</span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.9579em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.6944em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord mathnormal">a</span></span><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.25em;"><span class="mord">^</span></span></span></span></span></span></span></span><span style="top:-3.2634em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.25em;"><span class="mord">ˊ</span></span></span></span></span></span></span><span class="mord mathnormal">t</span><span class="mpunct">,</span><span class="mspace" style="margin-right:0.1667em;"></span><span class="mord mathnormal">nh</span><span class="mord">ỏ</span><span class="mord mathnormal">nh</span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.9579em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.6944em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord mathnormal">a</span></span><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.25em;"><span class="mord">^</span></span></span></span></span></span></span></span><span style="top:-3.2634em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.25em;"><span class="mord">ˊ</span></span></span></span></span></span></span><span class="mord mathnormal">tt</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="mord accent"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.6944em;"><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord mathnormal">e</span></span><span style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="accent-body" style="left:-0.1944em;"><span class="mord">^</span></span></span></span></span></span></span><span class="mord mathnormal">n</span></span></span></span></span>
    \left[0, \frac{\pi}{2}\right]
    .
  • Cận x=0x = 0: y=sin⁡0+cos⁡0=0+1=1y = \sin0 + \cos0 = 0+1=1
     Cận x=π2x = \frac{\pi}{2}: y=sin⁡π2+cos⁡π2=1+0=1y = \sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1
    * Trong khoảng, cực trị tại xxsao cho đạo hàmy′y' = 0:
    y′=cos⁡x−sin⁡x=0⇔cos⁡x=sin⁡x⇔x=π4y' = \cos x - \sin x = 0 \Leftrightarrow \cos x = \sin x \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4}
    Tại x=π4x=\frac{\pi}{4}:
    y=sin⁡π4+cos⁡π4=22+22=2y=\sin \frac{\pi}{4}+\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}

    • Vậy <br/>max⁡x∈[0,π2]y=2<br />\max_{x \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]} y = \sqrt{2}tạix=π4x=\frac{\pi}{4}, <br/>min⁡x∈[0,π2]y=1<br />\min_{x \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right]} y = 1 tại hai đầu mút.

    8. Bài tập thực hành

  • 1. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của các hàm số sau trên đoạn [0;2π][0;2\pi]:
    (a) y=3sin⁡x+4cos⁡xy = 3\sin x + 4\cos x
    (b) y=2sin⁡2x−cos⁡2xy = 2\sin 2x - \cos 2x
    (c) y=tan⁡x+1y = \tan x + 1
  • 2. Xét tính đơn điệu của các hàm số:
    (a) y=sin⁡(2x)y = \sin(2x)
    (b) y=cos⁡x−sin⁡xy = \cos x - \sin x
  • 3. Chứng minh không phương trình:
    sin⁡x>cos⁡x\sin x > \cos xvớix∈(0,π2)x \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)

    • 9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm

  • - Khi tìm tập xác định hàm hợp lượng giác (ví dụ hàm chứa tan, cot), luôn nhớ loại trừ giá trị làm mẫu số bằng 0.
  • - Khi đưa tổng sin, cos về dạng Asin⁡(x+α)A\sin(x+\alpha), tính đúng dấu của φ\varphi theo quy tắc dịch đồ thị.
  • - Kiểm tra các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có rơi vào khoảng xét hay không, tránh sai sót khi tìm nghiệm của hàm số lượng giác.
  • - Luôn nhớ đến tính chu kỳ, tuần hoàn của các hàm lượng giác để tránh bỏ sót nghiệm.
  • - Khi giải phương trình, chú ý trường hợp đặc biệt sin⁡x=±1\sin x = \pm 1, cos⁡x=0\cos x = 0...

    • Hy vọng với bài hướng dẫn "cách giải bài toán hàm số lượng giác", các em sẽ tự tin chinh phục mọi dạng bài tập về chủ đề này và đạt kết quả xuất sắc!

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".