Chiến lược giải bài toán hàm số vận tốc lớp 12: Hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa

1. Giới thiệu về bài toán hàm số vận tốc và tầm quan trọng

Bài toán hàm số vận tốc là một trong những dạng toán điển hình trong chương trình Giải tích lớp 12. Đây không chỉ là dạng toán thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia mà còn là nền tảng cần thiết để hiểu sâu hơn về chuyển động trong vật lý và các bài toán thực tiễn. Chủ đề này giúp học sinh nắm vững kiến thức liên quan đến đạo hàm, tích phân và ứng dụng thực tế của các kiến thức lý thuyết đã học.

2. Đặc điểm của bài toán hàm số vận tốc

Bài toán hàm số vận tốc thường xuất hiện dưới các dạng:

• Cho hàm vận tốc$v(t)$, tìm quãng đường đi được trên một khoảng thời gian.
• Cho vận tốc, xác định vị trí tại một thời điểm.
• Tìm thời điểm vật dừng lại hoặc đổi chiều chuyển động.
• Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của vận tốc, vị trí.

Điểm chung là các bài toán sẽ liên quan đến tích phân, dấu của hàm số, và bài toán cực trị. Đặc biệt cần chú ý về dấu vận tốc vì nó quyết định chiều chuyển động của vật.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

Khi gặp bài toán về hàm số vận tốc, các em nên:

• Xác định rõ yêu cầu bài toán (tính quãng đường, vị trí, thời điểm vật dừng lại, ...).
• Phân tích điều kiện của hàm vận tốc, đặc biệt là tìm những điểm đặc biệt: nghiệm của$v(t)$(nơi vận tốc đổi dấu), điểm cực trị.
• Chia đoạn thời gian thành các khoảng vật chuyển động cùng chiều để tránh nhầm dấu khi tính quãng đường.
• Áp dụng công thức tích phân, đạo hàm thích hợp. Kiểm tra kỹ điều kiện đề.

4. Các bước chi tiết giải bài toán hàm số vận tốc – Ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa: Cho vận tốc của vật chuyển động thẳng:$v(t)=t^2-4t+3$(m/s),$t$tính bằng giây. Tính quãng đường đi được từ $t=0$ đến$t=5$giây.

1. Tìm nghiệm của$v(t)=0$:
2. Giải:$t^2-4t+3=0 \Leftrightarrow (t-1)(t-3)=0 \Rightarrow t=1, t=3$.
3. Xác định dấu$v(t)$trên mỗi khoảng:$(0;1)$,$(1;3)$,$(3;5)$:
4. Chọn$t=0.5$:$v(0.5)=0.25-2+3=1.25>0$;$t=2$:$v(2)=4-8+3=-1<0$;$t=4$:$v(4)=16-16+3=3>0$.
5. Vật chuyển động theo chiều dương tại$(0;1)$và $(3;5)$, chuyển động ngược chiều dương tại$(1;3)$.
6. Tính quãng đường từng khoảng rồi cộng lại (lưu ý lấy giá trị tuyệt đối):
7. Quãng đường trên$(0;1)$:$S_1=\int_{0}^{1}v(t)dt$(dấu$+$do$v(t)>0$).
8. Quãng đường trên$(1;3)$:$S_2=\left|\int_{1}^{3}v(t)dt\right|$(giá trị tuyệt đối, do$v(t)<0$).
9. Quãng đường trên$(3;5)$:$S_3=\int_{3}^{5}v(t)dt$.
10. Tính các tích phân:
11. $\int v(t)dt=\int (t^2-4t+3)dt=\frac{1}{3}t^3-2t^2+3t+C$
12. Tính từng đoạn:
13. $S_1=\frac{1}{3}-2+3=\frac{4}{3}$m
14. $S_2=\left|\left(\frac{1}{3} \times 27-2 \times 9+3 \times 3\right) - \left(\frac{1}{3}-2+3\right)\right|=\left|(9-18+9)-(\frac{4}{3})\right|=\left|0-\frac{4}{3}\right|=\frac{4}{3}$m
15. $S_3=\left(\frac{1}{3} \times 125 -2 \times 25 +3 \times 5\right) - (9-18+9)=\left(\frac{125}{3}-50+15\right)-0=\frac{125}{3}-35=\frac{20}{3}$m
16. Tổng quãng đường đi được:$S=S_1+S_2+S_3=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{20}{3}=\frac{28}{3} \approx 9.33$m

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Vận tốc tức thời:$v(t)=s'(t)$,$s(t)$là hàm vị trí theo thời gian.
• Quãng đường đi được trên$[a,b]$:$S=\int_a^b |v(t)|dt$
• Độ dời (khác quãng đường đi được!):$\Delta s = s(b)-s(a)=\int_a^b v(t)dt$
• Tìm thời điểm dừng lại: giải$v(t)=0$.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Nếu$v(t)$là hàm phức tạp (hàm bậc ba, bậc bốn...), cần giải cẩn thận các nghiệm để kiểm tra dấu vận tốc trên từng khoảng.
• Nếu đã cho$s(t)$, đạo hàm để tìm$v(t)$.
• Nếu bài toán hỏi về thời gian vật trở lại vị trí ban đầu: giải$s(t_2)=s(t_1)$.
• Nếu yêu cầu cực trị vận tốc hoặc vị trí: Tìm điểm cực trị bằng đạo hàm$v'(t)=0$.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Cho hàm vận tốc$v(t)=2t-4$,$t \in [0;5]$(m/s), vật bắt đầu chuyển động từ $O$lúc$t=0$. a) Tìm quãng đường vật đi được từ $t=0$ đến$t=5$; b) Tìm vị trí vật tại$t=5$.

1. Tìm nghiệm$v(t)=0 \Leftrightarrow 2t-4=0 \Rightarrow t=2$.
2. Phân tích dấu:$t \in [0;2): v(t)<0$;$t \in (2;5]: v(t)>0$.
3. Quãng đường:
4. $S=|\int_0^2 v(t)dt|+\int_2^5 v(t)dt$
5. $\int v(t)dt=t^2-4t+C$
6. $\int_0^2 v(t)dt=(4-8)-(0-0)=-4$
7. $\int_2^5 v(t)dt=(25-20)-(4-8)=5-(-4)=9$
8. Vậy$S=|-4|+9=13$(m)
9. b) Vị trí vật tại$t=5$:
10. $s(5)=\int_0^5 v(t)dt=(25-20)-(0-0)=5$(m)

8. Bài tập tự luyện

• Bài 1: Cho$v(t)=3t^2-12t+9$($t\ge0$). Tính quãng đường vật đi được từ $t=0$ đến$t=4$.
• Bài 2: Cho$v(t)=5-2t$, vật xuất phát tại$O$lúc$t=0$. Tìm thời điểm vật dừng lại và đi ngược lại chiều ban đầu.
• Bài 3: Vận tốc$v(t)=ft^{3}-6t$($t \in [0;2]$). Tính độ dời của vật.
• Bài 4: Cho$s(t)=t^3-6t^2+9t$,$t\ge0$. Tìm thời điểm vật đạt vận tốc lớn nhất trên$[0;3]$.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Khi tính quãng đường, LUÔN phải chia các khoảng theo dấu của$v(t)$và lấy giá trị tuyệt đối từng đoạn.
• Phân biệt ĐỘ DỜI và QUÃNG ĐƯỜNG đi được!
• Chăm chú khi biến đổi tích phân, giải nghiệm và áp dụng điều kiện thời gian của bài toán.
• Vận tốc đổi chiều khi qua nghiệm$v(t)=0$. Vật chỉ dừng lại thực sự khi thời gian nghiệm thuộc đoạn xét.

Hy vọng bài viết trên giúp các bạn nắm vững "cách giải bài toán hàm số vận tốc" lớp 12 cũng như chuẩn bị sẵn sàng cho các kỳ thi sắp tới!