Blog

Hướng dẫn chiến lược giải quyết bài toán Hàm số vận tốc trong Toán lớp 12

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán hàm số vận tốc và tầm quan trọng

Bài toán về hàm số vận tốc là một chủ đề trọng tâm trong chương trình Toán lớp 12 – đặc biệt thuộc phần ứng dụng tích phân và giải tích. Việc thành thạo dạng toán này giúp học sinh hiểu sâu về các khái niệm vật lý như chuyển động thẳng, đồng thời rèn luyện kỹ năng vận dụng các định nghĩa và kỹ thuật giải toán thực tiễn – rất quan trọng trong các kỳ thi THPT Quốc gia. Đó còn là nền tảng cho các dạng bài liên quan đến quãng đường, gia tốc và các bài toán thực tế khác.

2. Đặc điểm của bài toán hàm số vận tốc

Ở lớp 12, dạng bài toán này thường tập trung vào các yêu cầu sau:

  • Tìm quãng đường vật thể đi được trên một khoảng thời gian khi biết hàm số vận tốcv(t)v(t).
  • Tính vận tốc tức thời, vận tốc trung bình và xác định hướng chuyển động.
  • Giải các bài toán tìm thời điểm vật về vị trí xuất phát hoặc dừng lại.
  • Tìm các khoảng vật chuyển động cùng chiều, ngược chiều.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

Khi đối mặt với bài toán hàm số vận tốc, học sinh cần xác định rõ yêu cầu đề (tìm quãng đường, vận tốc, thời điểm đặc biệt...), nhận diện đúng dạng hàm vận tốc rồi vận dụng kiến thức giải tích, đặc biệt là tích phân để giải quyết. Chiến lược tổng thể gồm các bước:

  • Đọc kỹ đề, xác định chính xác yêu cầu (quãng đường, vị trí, vận tốc tức thời...)
  • Biểu diễn bài toán dưới dạng toán học thích hợp.
  • Áp dụng các công thức và kỹ thuật giải tùy theo yêu cầu.
  • Kiểm tra/so sánh kết quả trong thực tế (khoảng thời gian, quãng đường có nghĩa…)

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Chúng ta sẽ phân tích chi tiết quy trình giải một bài toán điển hình:

Ví dụ: Cho vận tốc của một vật chuyển động trên trục Ox là v(t)=2t4v(t) = 2t - 4(m/s), vớitttính bằng giây. Tính quãng đường vật đi được từ t=1t = 1 đếnt=5t = 5giây.

  1. Xác định yêu cầu đề bài: Tính quãng đường đi được từ t=1t = 1 đếnt=5t = 5.
  2. Viết biểu thức toán học: Quãng đườngSS đi được là:

    S=15v(t)dtS = \int_{1}^{5} |v(t)| \,dt
  3. Tìm các điểm mà v(t)v(t) đổi dấu trên khoảng[1;5][1; 5](giảiv(t)=0v(t) = 0):

    2t4=0t=22t-4=0 \Rightarrow t=2

    ightarrowightarrowVận tốc đổi chiều tạit=2t=2.
  4. Chia đoạn[1;5][1;5]thành hai phần:[1;2][1;2][2;5][2;5].
    - Trên[1;2][1;2],v(t)<0v(t) < 0nênv(t)=(2t4)=42t|v(t)| = -(2t - 4) = 4 - 2t.
    - Trên[2;5][2;5],v(t)>0v(t) > 0nênv(t)=2t4|v(t)| = 2t - 4.
  5. Tính quãng đường trên từng đoạn rồi cộng lại:

    S1=12(42t)dt=[4tt2]12=(84)(41)=43=1S_1 = \int_{1}^{2} (4-2t) dt = [4t - t^2]_{1}^{2} = (8-4) - (4-1) = 4-3=1(m)

    S2=25(2t4)dt=[t24t]25=(2520)(48)=5(4)=9S_2 = \int_{2}^{5} (2t-4) dt = [t^2 - 4t]_{2}^{5} = (25-20) - (4-8) = 5 - (-4) = 9(m)

    Tổng quãng đường đi được:S=S1+S2=1+9=10S = S_1 + S_2 = 1 + 9 = 10(m)

Kết luận: Quãng đường vật đi được là 1010m.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Quãng đường đi được trên[a;b][a; b]:S=abv(t)dtS = \int_{a}^{b} |v(t)| dt
  • Độ dời trên[a;b][a; b]:Δx=abv(t)dt=x(b)x(a)\Delta x = \int_{a}^{b} v(t) dt = x(b) - x(a)
  • Vận tốc tức thời tạit0t_0:v(t0)v(t_0)
  • Vận tốc trung bình trên[a;b][a; b]:vtb=x(b)x(a)bav_{tb} = \frac{x(b) - x(a)}{b - a}

6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể tiêu biểu mà học sinh cần lưu ý:

  • Yêu cầu tính vị trí hoặc xác định thời điểm vật đạt vị trí đặc biệt: giải phương trìnhx(t)=x0x(t) = x_0.
  • Tính thời gian vật dừng lại: tìmttv(t)=0v(t) = 0.
  • Tìm thời điểm vật chuyển động ngược chiều: xác định các khoảngv(t)v(t) đổi dấu.
  • Vận dụng kết hợp nhiều công thức: tính quãng đường, độ dời, vận tốc, gia tốc,...

Lưu ý: Nếu đề cho đầu bài bằng bảng, hoặc đồ thị v(t)v(t)thì cần linh hoạt chuyển sang cách biểu diễn tích phân bằng diện tích hình học.

7. Bài tập mẫu với lời giải từng bước

Bài tập: Một vật chuyển động thẳng với vận tốcv(t)=t26t+8v(t) = t^2 - 6t + 8(m/s),tttính bằng giây. Tính quãng đường vật đi được từ t=0t = 0 đếnt=5t = 5giây.

  1. Xác định các thời điểmv(t)=0v(t) = 0trên đoạn[0;5][0;5]:
    t26t+8=0(t2)(t4)=0t1=2;\t2=4t^2 - 6t + 8 = 0 \Leftrightarrow (t-2)(t-4) = 0 \Rightarrow t_1=2;\t_2=4
  2. Vẽ bảng xét dấuv(t)v(t)trên[0;5][0;5]:
    -v(t)>0v(t) > 0khit[0;2)(4;5]t \in [0;2) \cup (4;5]
    -v(t)<0v(t) < 0khit(2;4)t \in (2;4)
  3. Quãng đường là tổng các tích phân trị tuyệt đối:
    S=02[t26t+8]dt+24[(t26t+8)]dt+45[t26t+8]dtS = \int_{0}^{2} [t^2-6t+8] dt + \int_{2}^{4} [-(t^2-6t+8)] dt + \int_{4}^{5} [t^2-6t+8] dt
  4. - Tính từng tích phân:

    (t26t+8)dt=t333t2+8t+C\int (t^2-6t+8) dt = \frac{t^3}{3} - 3t^2 + 8t + C

    -02(t26t+8)dt=[t333t2+8t]02\int_{0}^{2} (t^2-6t+8) dt = \left[\frac{t^3}{3} - 3t^2 + 8t\right]_{0}^{2}

    =(8312+16)0=(83+4)=203= \left(\frac{8}{3} - 12 + 16\right)-0 = (\frac{8}{3} + 4) = \frac{20}{3}

    -24(t26t+8)dt=[t333t2+8t]24\int_{2}^{4} -(t^2-6t+8) dt = -\left[\frac{t^3}{3} - 3t^2 + 8t\right]_{2}^{4}
    = -[(\frac{64}{3} - 48 + 32) - (\frac{8}{3} - 12 + 16)]
    = -[(\frac{64}{3} + (-16)) - (\frac{8}{3} + 4)]
    = -[\frac{64}{3} - 16 - (\frac{8}{3} + 4)]
    = -[\frac{64}{3} - 16 - \frac{8}{3} - 4]
    = -[\frac{56}{3} - 20] = -\frac{56-60}{3} = \frac{4}{3}-\int_{4}^{5} (t^2-6t+8) dt = \left[\frac{t^3}{3} - 3t^2 + 8t\right]_{4}^{5}
    =(125375+40)(64348+32)=(125335)(64316)=(125335643+16)=(61319)=61573=43= (\frac{125}{3} - 75 + 40) - (\frac{64}{3} - 48 + 32)
    = (\frac{125}{3} - 35) - (\frac{64}{3} - 16)
    = (\frac{125}{3} - 35 - \frac{64}{3} + 16)
    = (\frac{61}{3} - 19) = \frac{61 - 57}{3} = \frac{4}{3}

  5. Tổng quãng đường:S=203+43+43=283S = \frac{20}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{28}{3}(m).

Đáp số: Quãng đường vật đi được là 283\frac{28}{3}(m) (9,33\approx 9,33m).

8. Bài tập thực hành

  • Bài 1: Cho vận tốcv(t)=3t212t+9v(t) = 3t^2 - 12t + 9(m/s), tính quãng đường vật đi được từ t=0t = 0 đếnt=5t = 5.
  • Bài 2: Vật chuyển động với v(t)=4sintv(t) = 4 \sin t(m/s),t[0;2π]t \in [0; 2\pi]. Tính quãng đường vật đi được.
  • Bài 3: Vận tốcv(t)=t2+2t+3v(t) = -t^2 + 2t + 3(m/s),tttính bằng giây. Tìm các khoảng vật chuyển động ngược chiều dương.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

  • Luôn kiểm tra dấu củav(t)v(t), đặc biệt khi tích phân trị tuyệt đối.
  • Chia đoạn đúng vị trí v(t)=0v(t)=0, không bỏ sót điểm đổi chiều.
  • Phân biệt rõ giữa quãng đường và độ dời.
  • Nhớ kiểm tra đơn vị trước khi trả lời.
  • Tận dụng máy tính Casio để kiểm tra lại kết quả tích phân.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".