Blog

Cách giải bài toán hàm thể tích lớp 12: Chiến lược và ví dụ minh họa

T
Tác giả
6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán hàm thể tích và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 12, chủ đề "Hàm thể tích" thường xuất hiện trong các bài toán tối ưu hình học không gian hoặc ứng dụng thực tế. Đây là dạng bài tập yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (GTLN-GTNN) của hàm số thể tích, thường liên quan đến hình lập phương, hộp, hình trụ, hình nón,... Dạng toán này không chỉ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức hàm số vào bài toán thực tiễn mà còn là phần xuất hiện nhiều trong đề kiểm tra và thi THPT Quốc gia.

2. Đặc điểm nhận biết bài toán hàm thể tích

  • Thông thường bài cho một hình học có điều kiện ràng buộc (chu vi, diện tích, tổng các kích thước,...) và yêu cầu thể tích đạt GTLN hoặc GTNN.
  • Hàm thể tích thường được đưa về dạng hàm số một biến.
  • Phải xét miền xác định của biến hình học dựa vào tính chất hình.

3. Chiến lược tổng thể để giải quyết bài toán hàm thể tích

  1. Phân tích đề bài, xác định các đại lượng hình học và biến số.
  2. Thiết lập công thức thể tích dựa theo các đại lượng liên quan đến biến số.
  3. Tạo mối liên hệ giữa các đại lượng bằng điều kiện ràng buộc để đưa thể tích về hàm một biến.
  4. Xác định miền xác định của biến.
  5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số thể tích trên miền đã xác định bằng đạo hàm hoặc biện luận.
  6. Kết luận, trả lời bài toán.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ: Từ một tấm bìa hình vuông cạnhaa(a > 0), cắt bốn góc nhỏ hình vuông bằng nhau để gập thành một chiếc hộp không nắp. Tìm kích thước đáy để thể tích hộp lớn nhất.

Bước 1: Giả sử biến và các đại lượng liên quan

Gọi kích thước cạnh hình vuông cắt ở mỗi góc là xx(0<x<a20 < x < \frac{a}{2}). Chiều cao hộp sau khi gập là xx, cạnh đáy là a2xa - 2x.

Bước 2: Lập hàm thể tích

Thể tích hộp chính là:V(x)=x(a2x)2V(x) = x(a - 2x)^2.

Bước 3: Xác định miền xác định

Do0<x<a20 < x < \frac{a}{2}(để cạnh đáy dương).

Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất bằng đạo hàm

TínhV(x)V'(x):

V(x)V(x)= x(a2x)(a - 2x)^2 =x(a24ax+4x2)x(a^2 - 4ax + 4x^2))$= a^2x - 4ax^2 + 4x^3

V'(x) = a^2 - 8ax + 12x^2

Giải phương trìnhV(x)=0V'(x) = 0:

a28ax+12x2=012x28ax+a2=0a^2 - 8ax + 12x^2 = 0 \Leftrightarrow 12x^2 - 8a x + a^2 = 0

Giải ra được:

x=2a±a13/36=2a±a1/36=2a±a336x = \frac{2a \pm a\sqrt{1-3/3}}{6} = \frac{2a \pm a\sqrt{1/3}}{6} = \frac{2a \pm a\frac{\sqrt{3}}{3}}{6}

Chỉ lấy nghiệm dương thoả mãn0<x<a20 < x < \frac{a}{2}. Sau đó, thay vàoV(x)V(x) để xác định thể tích lớn nhất.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Công thức thể tích: Hình hộp chữ nhật:V=abhV = a b h; Hình trụ:V=πr2hV = \pi r^2 h; Hình nón:V=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 h
  • Kỹ thuật quy ẩn: Đưa hàm từ nhiều biến về một biến nhờ điều kiện hình học.
  • Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn bằng đạo hàm hoặc kiểm tra tại các điểm biên.

6. Các biến thể của bài toán hàm thể tích và điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể thường gặp:

  • Từ điều kiện hình khác (chu vi, tổng diện tích, tỷ số các cạnh,...) chuyển đổi sang hàm thể tích.
  • Tìm GTLN của thể tích hình trụ, hình nón nội tiếp hình khối khác.
  • Bài toán hỏi thông số hình học tương ứng với thể tích nhỏ nhất (chẳng hạn đường kính đáy nhỏ nhất,...).

Chiến lược luôn là biến đổi điều kiện ràng buộc thật chính xác để đưa về bài toán tối ưu hàm số một biến.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập mẫu: Dùng tấm tôn hình chữ nhật kích thước 60 cm x 80 cm để gấp thành hộp chữ nhật không nắp, bằng cách cắt các hình vuông ở bốn góc (cạnh x), tìm x để hộp có thể tích lớn nhất.

Lời giải:

Gọi x (cm) là độ dài cạnh vuông cắt.

  • Chiều cao hộp:xx.
  • Đáy hộp:802x80-2x602x60-2x(cm).

Miền xác định:0<x<300 < x < 30.

Thể tích:V(x)=x(802x)(602x)V(x) = x(80 - 2x)(60 - 2x)

V(x)=x(4800160x120x+4x2)=4800x280x2+4x3V(x) = x(4800 - 160x - 120x + 4x^2) = 4800x - 280x^2 + 4x^3

TínhV(x)=4800560x+12x2V'(x) = 4800 - 560x + 12x^2

GiảiV(x)=0V'(x) = 0:12x2560x+4800=012x^2 - 560x + 4800 = 0

Giải phương trình bậc 2, loại nghiệm không thuộc(0;30)(0;30), tìm nghiệmx0x_0.

TínhV(x0)V(x_0),V(0+)V(0^+),V(30)V(30^-)và kết luậnx0x_0là giá trị cần tìm.

8. Bài tập thực hành

  • Từ một tấm bìa hình chữ nhật kích thước 20 cm x 32 cm, cắt các hình vuông ở bốn góc để gấp thành hộp chữ nhật không nắp. Tìm cạnh hình vuông bị cắt để thể tích lớn nhất.
  • Một hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R. Tìm bán kính đáy hình trụ để thể tích hình trụ là lớn nhất.
  • Cho tam giác đều cạnhaa, quay quanh một cạnh cố định, hãy tìm chiều cao để thể tích khối nón quay được là lớn nhất.

9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán hàm thể tích

  • Luôn chú ý miền xác định thực tế của biến (thường liên quan đến các cạnh phải dương và nhỏ hơn giới hạn cụ thể).
  • Kiểm tra cả điểm biên ngoài nghiệm đạo hàm, vì đôi khi thể tích lớn nhất lại ở biên.
  • Cẩn thận khi đưa về hàm một biến, tránh sai sót khi biến đổi các đại lượng hình học.
  • Nếu bài toán xuất hiện phân số hoặc nghiệm không đơn giản, hãy dùng máy tính hoặc phần mềm hỗ trợ để kiểm tra lại.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".