Cách giải bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số lớp 12: Chiến lược đầy đủ cho mọi dạng đề

1. Giới thiệu về bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Bài toán "Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số" là một trong những bài toán trung tâm của chương trình toán lớp 12, đặc biệt quan trọng trong các kỳ thi THPT Quốc gia. Đây là bài toán tổng hợp của đại số và giải tích, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm, đồ thị, cũng như tư duy logic để phân tích các tính chất của hàm số và trình bày kết quả một cách khoa học.

Bài toán này giúp học sinh rèn luyện sự cẩn thận, kỹ năng phân tích - tổng hợp và tăng cường khả năng ứng dụng toán học vào thực tiễn cũng như các lĩnh vực khác.

2. Đặc điểm của bài toán

• Hàm số thường gặp là đa thức, phân thức hữu tỉ, hàm chứa căn, logarit, mũ.
• Phân tích các tính chất: Tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ, tuần hoàn…
• Tìm giới hạn, tiệm cận, đánh giá hành vi hàm số ở vô cực và các điểm đặc biệt.
• Tính đạo hàm, giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm cực trị.
• Khảo sát dấu của đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị.
• Tìm điểm uốn, xác định sự lồi lõm, vẽ đồ thị tương đối chính xác.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

Chiến lược hiệu quả giải bài toán này là: "Đi từng bước nhỏ, kiểm soát chặt chẽ từng tính chất và ghi lại kết quả vào bảng biến thiên". Luôn trình bày rõ ràng, có giải thích ngắn gọn cho từng kết luận.

• Bước 1: Tìm tập xác định.
• Bước 2: Tính các giới hạn, tìm tiệm cận (nếu có).
• Bước 3: Tính đạo hàm, giải phương trình$f'(x)=0$ để tìm điểm cực trị.
• Bước 4: Xét dấu của đạo hàm, lập bảng biến thiên.
• Bước 5: Xét các tính chất phụ khác (điểm uốn, lồi lỏm, đối xứng, cắt trục…).
• Bước 6: Vẽ đồ thị.

4. Các bước giải cụ thể và ví dụ minh họa

Bước 1: Tìm tập xác định

Phân tích điều kiện tồn tại của biểu thức hàm số. Ví dụ, với phân thức hữu tỉ, không để mẫu bằng 0; với căn, phải đảm bảo biểu thức trong căn không âm.

Ví dụ 1: $y = \frac{2x+1}{x-1}$có tập xác định$\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Bước 2: Tính giới hạn, tìm tiệm cận

Tính các giới hạn của hàm số khi$x$tiến đến các điểm đặc biệt (vô cực, làm mẫu bằng 0...).

Ví dụ, với$y = \frac{2x+1}{x-1}$:

• Tiệm cận đứng:$x=1$(vì $x\to1$,$y\to \pm \infty$)
• Tiệm cận ngang:$\displaystyle\lim_{x\to\infty}y = \lim_{x\to -\infty} y = 2$

Bước 3: Tính đạo hàm và tìm cực trị

Áp dụng các công thức đạo hàm, giải phương trình$y' = 0$.

Với$y = \frac{2x+1}{x-1}$, ta có:

$y' = \frac{(2)(x-1) - (2x+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x-2 -2x -1}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$

Giải$y' = 0$cho ta thấy không có $x$thỏa.

Bước 4: Dấu đạo hàm, bảng biến thiên

Xét dấu của$y'$. Nếu$y' > 0$(hàm đồng biến),$y' < 0$(hàm nghịch biến). Với ví dụ trên:

Với mọi$x \ne 1$,$y' = \frac{-3}{(x-1)^2} < 0$nên hàm luôn nghịch biến trên các khoảng xác định.

Bước 5: Các tính chất khác

- Xét sự đối xứng, điểm cắt trục, tiếp tuyến đặc biệt, điểm uốn nếu có.
- Trong ví dụ, nghiệm$2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{2}$,$y=0$nên đồ thị cắt trục hoành tại$x=-\frac{1}{2}$.

Bước 6: Vẽ đồ thị

- Xác định các yếu tố đặc biệt (tiệm cận, điểm cắt trục, dạng đi của đồ thị trên bảng biến thiên) và vẽ hình.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Cách tính đạo hàm các loại hàm số thường gặp: $\frac{d}{dx}(u/v) = \frac{u'v-uv'}{v^2}$, $\frac{d}{dx}\sqrt{f(x)}=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$...
• Hàm số đồng biến trên$(a,b)$khi$f'(x)>0$với mọi$x \in (a,b)$.
• Hàm số nghịch biến trên$(a,b)$khi$f'(x)<0$với mọi$x \in (a,b)$.
• Điểm cực đại, cực tiểu là nghiệm của$f'(x)=0$và đổi dấu tại đó.
• Điểm uốn:$f''(x)=0$, đổi dấu đạo hàm bậc 2.
• Tiệm cận đứng tại$x=a$nếu$\lim_{x\to a}f(x)= \pm \infty$; tiệm cận ngang$y=L$nếu$\lim_{x\to \pm \infty}f(x)=L$; tiệm cận xiên (nếu có):$y=ax+b$với$a=\lim_{x\to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}$,$b=\lim_{x\to \pm \infty}[f(x) - ax]$

6. Các biến thể và điều chỉnh chiến lược

Bài toán có thể gặp các hàm số chứa căn, logarit, mũ hoặc trùng phương, khi đó cần đặc biệt chú ý:

• Đặt điều kiện xác định rõ ràng hơn (ví dụ: với $y = \sqrt{x+1}$, điều kiện $x \geq -1$).
• Cẩn thận khi tính đạo hàm với căn/logarit/mũ.
• Phát hiện các điểm không liên tục hoặc biên của khoảng xác định có thể là cực trị biên.

7. Bài mẫu giải chi tiết từng bước

Xét hàm số $y=x^3-3x+2$.

•Bước 1: Tập xác định:$\mathbb{D} = \mathbb{R}$(vì đa thức xác định với mọi$x$).

• Bước 2: Giới hạn và tiệm cận: Khi$x \to \pm \infty$,$y \to \pm \infty$, không có tiệm cận ngang/đứng/xiên.

• Bước 3: Đạo hàm:$y'=3x^2-3$.

Giải$y' = 0 \Rightarrow 3x^2-3=0 \Leftrightarrow x^2=1 \Leftrightarrow x= \pm 1$.

• Bước 4: Bảng biến thiên:

Xét$y'(x) = 3x^2-3$. Với$x<-1$,$y'>0$(đồng biến);$-1<x<1$,$y'<0$(nghịch biến);$x>1$,$y'>0$(đồng biến). Giá trị $y(-1) = (-1)^3-3(-1)+2 = 4$;$y(1)=1-3+2=0$.

• Bước 5: Không có tiệm cận, điểm cắt trục hoành: Giải$y=0$:$x^3-3x+2=0 \Leftrightarrow (x-1)(x^2+x-2)=0 \Leftrightarrow x=1, x=-2, x=1$($x^2+x-2=0 \rightarrow x=1; x=-2$) nên đồ thị cắt trục hoành tại$x=1, x=-2$.

• Bước 6: Vẽ đồ thị, bám sát bảng biến thiên.

(Bạn đọc có thể tự vẽ dựa trên bảng biến thiên vừa lập)

8. Bài tập thực hành

1. Khảo sát và vẽ đồ thị $y=\frac{x^2+1}{x-2}$
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $y=2x^3-3x^2-12x+1$
3. Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số $y=\sqrt{x^2-4}$, chỉ ra các điểm đặc biệt.
4. Khảo sát và vẽ đồ thị $y=\log_{2}(x-1)$.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Luôn xác định chính xác tập xác định trước khi thực hiện các phép toán khác.
• Không bỏ qua các bước giải phương trình đạo hàm = 0 để tìm cực trị, kể cả khi không có nghiệm thực.
• Cẩn thận khi xét dấu đạo hàm, đặc biệt là với các điểm loại bỏ khỏi tập xác định.
• Vẽ bảng biến thiên rõ ràng, lưu ý điểm dừng tại các giới hạn đặc biệt hoặc tiệm cận.
• Kiểm tra kỹ các trục cắt, điểm đặc biệt của hàm số trên đồ thị.
• Đọc kỹ đề, nếu hàm số chứa căn/log hay trùng phương, bổ sung điều kiện xác định rõ ràng.

Kết luận

Hy vọng với chiến lược và các ví dụ minh họa trên đây, bạn đã hiểu rõ cách giải bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số toán 12. Hãy luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài khác nhau để làm chủ dạng đề này!