Cách giải bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số lớp 12: Chiến lược tổng thể, ví dụ minh họa & luyện tập

1. Giới thiệu chung về bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số là một loại bài toán then chốt trong chương trình Toán lớp 12. Đây là dạng bài kiểm tra tổng hợp các kỹ năng: tính đạo hàm, giải phương trình bất phương trình, tìm giới hạn, xét dấu, đồng biến - nghịch biến, cực trị, tiệm cận, và thể hiện hình học qua đồ thị. Dạng bài này không chỉ xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia mà còn là nền tảng quan trọng để học sinh phát triển tư duy phân tích và trình bày logic.

2. Đặc điểm của loại bài toán này

Dạng bài “Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số” tập trung chủ yếu vào các hàm số bậc ba, trùng phương, phân thức hữu tỉ, căn thức và hàm số mũ - logarit. Đặc điểm:

• Yêu cầu sử dụng thành thạo đạo hàm để xác định tính đơn điệu, cực trị, điểm uốn.
• Kỹ năng liên kết giữa đại số và hình học (mọi kết quả khảo sát phải phản ánh trên đồ thị).
• Áp dụng linh hoạt các công thức tính giới hạn, nghiệm và bất phương trình để xác định miền xác định, tiệm cận, giao điểm.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

Để làm chủ cách giải bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, học sinh cần theo một lộ trình chuẩn. Đó là:

• Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
• Bước 2: Xét sự đối xứng (nếu có), tìm tiệm cận (nếu có), xác định hành vi khi$x \to \pm \infty$.
• Bước 3: Tính đạo hàm và giải$y' = 0$, xét dấu$y'$ để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến, cực trị.
• Bước 4: Tính đạo hàm cấp hai$y''$ để khảo sát điểm uốn, tính chất lồi lõm.
• Bước 5: Tìm giao điểm với các trục tọa độ.
• Bước 6: Lập bảng biến thiên tổng hợp (nhớ ghi đầy đủ đặc điểm biến thiên, cực trị, tiệm cận, điểm uốn).
• Bước 7: Vẽ đồ thị chính xác dựa trên các thông tin đã khảo sát.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa về cách giải bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Xét hàm số:

y =$x^3 - 3x + 2$

Hàm là đa thức nên xác định với mọi$x \in \mathbb{R}$.

Khi$x \to +\infty$,$y \to +\infty$. Khi$x \to -\infty$,$y \to -\infty$. Không có tiệm cận ngang, đứng.

Ta có $y' = 3x^2 - 3$. Giải$3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = 1$hoặc$x = -1$.

• Lập bảng xét dấu$y'$. Với$x < -1$:$y'>0$(đồng biến);$-1 < x < 1$:$y'<0$(nghịch biến);$x > 1$:$y'>0$(đồng biến).

Tính$y(-1) = (-1)^3 - 3*(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$: điểm cực đại.$y(1) = 1 - 3 + 2 = 0$: điểm cực tiểu.

$y'' = 6x$. Giải$y''=0 \Rightarrow x=0$. Giá trị $y(0) = 2$. Vậy điểm uốn$I(0,2)$.

Giao trục tung:$x=0 \Rightarrow y=2$(đã có). Giao trục hoành:$x^3 - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow (x-1)^2(x+2)=0 \Rightarrow x=1$(kép),$x=-2$.

Lập bảng biến thiên thể hiện đầy đủ các giá trị, rồi vẽ đồ thị hàm số trên hệ trục$Oxy$dựa vào các điểm đặc biệt, giao điểm, khoảng biến thiên, điểm cực trị, điểm uốn đã xác định.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

Một số công thức cơ bản:

• Đạo hàm:$y' = f'(x)$
• Cực trị:$f'(x_0) = 0$, xét dấu$f'$quanh$x_0$
• Điểm uốn:$f''(x_0)=0$,$f''$ đổi dấu qua$x_0$
• Tiệm cận đứng: Tìm$x$làm mẫu số hàm số chứa phân thức bằng$0$
• Tiệm cận ngang:$ext{Tính} \lim \limits_{x \to \pm \infty} f(x)$

6. Các biến thể của dạng bài và điều chỉnh chiến lược

Ngoài đa thức, còn có các dạng hàm phân thức hữu tỉ, hàm căn, hàm mũ - logarit. Mỗi loại cần chú ý:

• Hàm phân thức hữu tỉ: đặc biệt chú ý tiệm cận đứng và ngang, miền xác định.
• Hàm căn: điều kiện xác định là căn lấy số không âm.
• Hàm mũ – logarit: miền xác định liên quan đến cơ số, có thể có tiệm cận.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Giải:

1. Tập xác định:$x \neq 1$.
2. Tìm tiệm cận:
   - Đứng:$x=1$
   - Ngang:$\lim \limits_{x \to \pm \infty} y = 1$, nên tiệm cận ngang$y=1$.
3. Tính đạo hàm:
   $y' = \frac{(x-1) \cdot 1 - (x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x-1 - x -1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2} < 0, \forall x \neq 1$.
4. Hàm số luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
5. Giao với các trục:
   - Trục hoành:$\frac{x+1}{x-1}=0 \Leftrightarrow x = -1$.
   - Trục tung:$x=0 \Rightarrow y=-1$.
6. Lập bảng biến thiên:

(Kiểm tra các đặc điểm hình học và vẽ đồ thị dựa trên thông tin đã khảo sát.)

8. Bài tập thực hành

1. Khảo sát và vẽ đồ thị $y = x^3 - 2x^2 + 1$.
2. Khảo sát và vẽ đồ thị $y = \frac{2x+3}{x-2}$.
3. Khảo sát và vẽ đồ thị $y = \sqrt{x - 1}$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi xét các tính chất khác.
• Nhớ lập bảng biến thiên thật chi tiết và chính xác.
• Với hàm phân thức, đặc biệt chú ý điểm loại khỏi tập xác định và tiệm cận đứng.
• Vẽ đồ thị chính xác tỉ lệ, ghi rõ các điểm đặc biệt (giao trục, cực trị, điểm uốn, tiệm cận).
• Thực hành nhiều dạng hàm số khác nhau để làm chủ kỹ thuật.