1. Giới thiệu về loại bài toán này và tại sao nó quan trọng

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số là một trong những nội dung trọng tâm của chương trình Giải tích lớp 12. Việc nắm vững phương pháp giải không chỉ giúp học sinh đạt điểm cao trong các bài kiểm tra mà còn là nền tảng cho các ứng dụng thực tiễn trong Khoa học Tự nhiên, Kinh tế và Kỹ thuật.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán này

Các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số thường yêu cầu:

• Tìm Domain (Tập xác định) của hàm số.
• Tính đạo hàm$f'(x)$ để xác định điểm cực trị.
• Khảo sát dấu của$f'(x)$trên từng khoảng.
• Tìm tiệm cận (nếu có), giới hạn tại vô cực.
• Xác định điểm đặc biệt: cực trị, điểm uốn, giá trị hàm tại các điểm biên.
• Vẽ bảng biến thiên và đồ thị.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Một chiến lược hiệu quả gồm ba giai đoạn chính:

1. Giai đoạn chuẩn bị: Xác định tập xác định, đơn giản hóa hàm số.
2. Giai đoạn khảo sát: Tính đạo hàm, giải phương trình$f'(x)=0$, khảo sát dấu, tìm điểm đặc biệt.
3. Giai đoạn vẽ đồ thị: Lập bảng biến thiên, xác định tiệm cận và vẽ hình.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị của$f(x)=x^3-3x+1$

Bước 1: Xác định tập xác định
Tập xác định:$D=\mathbb{R}$vì $f$là đa thức.

Bước 2: Tính đạo hàm và giải$f'(x)=0$

$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)$

Giải$f'(x)=0 \Rightarrow x^2-1=0 \Rightarrow x= \pm 1$.

Bước 3: Khảo sát dấu của$f'(x)$trên các khoảng:

• Trên$(-\infty,-1)$: chọn$x=-2$,$f'(-2)=3(4-1)>0$→$f$tăng.
• Trên$(-1,1)$: chọn$x=0$,$f'(0)=-3<0$→$f$giảm.
• Trên$(1,\infty)$: chọn$x=2$,$f'(2)=3(4-1)>0$→$f$tăng.

Bước 4: Tìm giá trị hàm và điểm cực trị

$f(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=-1+3+1=3$→ cực đại tại$x=-1$.$f(1)=1-3+1=-1$→ cực tiểu tại$x=1$.

Bước 5: Tìm tiệm cận và giới hạn tại vô cực

Với đa thức bậc 3 không có tiệm cận ngang. Giới hạn:$\lim_{x\to \pm \infty}f(x)= \pm \infty$.

Bước 6: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị

- Tăng:$(-\infty,-1)$, giảm:$(-1,1)$, tăng:$(1,\infty)$.
- Cực đại:$(-1,3)$, cực tiểu:$(1,-1)$.
- Đồ thị đi qua các điểm$(0,1)$,$(-1,3)$,$(1,-1)$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Đạo hàm của hàm mũ, log, lượng giác.
• Quy tắc L’Hospital:$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$khi$0/0$hoặc$\infty/\infty$.
• Công thức phân tích đạo hàm bậc cao.
• Phương pháp khảo sát tính đơn điệu và cực trị.
• Xác định tiệm cận: ngang, đứng, xiên.
• Tính giới hạn cơ bản: $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$, $\lim_{x\to\infty}(1+\frac1x)^x=e$.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

- Hàm phân thức: cần xét miền xác định và tiệm cận đứng.
- Hàm chứa căn: xét điều kiện dưới căn$\ge0$và khảo sát dấu.
- Hàm mũ-log: chú ý khi tính giới hạn vô cực và đạo hàm.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$.

Lời giải tóm tắt:

1. Tập xác định:$x<br>eq1$.
2. Rút gọn:$f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1, ~x<br>eq1$.
3. Tiệm cận: đường thẳng$y=x+1$, tiệm cận đứng$x=1$.
4. Đạo hàm:$f'(x)=1>0$, hàm luôn tăng trên hai khoảng$(-\infty,1)$và $(1,\infty)$.
5. Giới hạn gần tiệm cận:$\lim_{x\to1^-}f(x)=2,~\lim_{x\to1^+}f(x)=2$.
6. Vẽ đồ thị: hai nhánh tăng tiệm cận đường thẳng$y=x+1$và đường đứng$x=1$.

8. Bài tập thực hành để học sinh tự làm

• Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $f(x)=x^4-4x^2+3$.
• Khảo sát hàm số $f(x)=e^x-x$trên$\mathbb{R}$.
• Khảo sát và vẽ đồ thị $f(x)=\ln(x^2+1)$.
• Khảo sát$f(x)=\frac{2x+1}{x-2}$và xác định tiệm cận.

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn viết rõ tập xác định trước khi tính đạo hàm.
• Kiểm tra kỹ dấu của$f'(x)$bằng cách thử giá trị.
• Đừng bỏ sót tiệm cận đứng hoặc ngang.
• Đối với hàm phân thức, rút gọn cẩn thận và giữ điều kiện ban đầu.
• Lập bảng biến thiên ngắn gọn nhưng đầy đủ.