Cách giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cơ bản

Bài toán khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản là dạng bài trọng tâm trong chương trình Toán lớp 12. Đây không chỉ là nền tảng cho các bài toán về ứng dụng đạo hàm mà còn xuất hiện nhiều trong đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia, đại học. Thành thạo cách giải bài toán này giúp học sinh nắm vững ý nghĩa hình học của hàm số, hiểu sâu về sự biến thiên và các đặc trưng quan trọng của đồ thị.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán khảo sát, vẽ đồ thị hàm số

• Dạng bài phổ biến: Hàm bậc nhất, bậc hai, bậc ba, phân thức, căn thức, hàm trị tuyệt đối, hàm mũ, logarit.
• Thường kết hợp nhiều kiến thức: Tính đạo hàm, xác định tập xác định, xét chiều biến thiên, cực trị, tiệm cận, giới hạn, điểm uốn, tính đối xứng, giao với trục,...
• Đòi hỏi kỹ năng tổng hợp, tư duy logic và thao tác vẽ chính xác.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận dạng bài này

1. Xác định dạng hàm số và tập xác định
2. Tính đạo hàm, tìm chiều biến thiên và cực trị
3. Xét giới hạn tại các điểm đặc biệt (biên của tập xác định, vô cực, điểm không xác định)
4. Khảo sát và xác định tiệm cận (nếu có)
5. Tìm các điểm đặc biệt như giao điểm với trục Ox, Oy, điểm uốn, đối xứng,…
6. Lập bảng biến thiên, phân tích đầy đủ
7. Vẽ đồ thị chính xác dựa trên các thông tin khảo sát

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + 2$.

[Bước 1] Xác định tập xác định và dạng hàm

Hàm số $y=x^3-3x+2$là đa thức nên tập xác định$ext{D} = \bbR$. Loại hàm: Bậc ba.

[Bước 2] Tính đạo hàm, xét chiều biến thiên và cực trị

Tính đạo hàm:$y' = 3x^2 - 3$.

Tìm các điểm cực trị (giải$y' = 0$):

$3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = 1$hoặc$x = -1$.

Tính giá trị cực trị:$y(1) = 1 - 3 + 2 = 0$,$y(-1) = -1 + 3 + 2 = 4$.

Chiều biến thiên:

- Với$x < -1$,$y' > 0$(hàm đồng biến)
-$x=-1$là điểm cực đại
y tăng trên$(-\infty, -1)$, giảm trên$(-1, 1)$, tăng trên$(1, +\infty)$.

[Bước 3] Xét giới hạn và tính chất khác

Giới hạn tại$x \rightarrow \pm \infty$:

$\lim_{x\to+\infty} y = +\infty;\quad \lim_{x\to-\infty} y = -\infty$.

[Bước 4] Xét điểm đặc biệt: giao trục, điểm uốn

Giao trục Oy:$x=0 \rightarrow y=2$. Giao Ox:$y=0 \rightarrow x^3-3x+2=0$. Giải phương trình này ta được$x=1$(đã có),$x=-2$.

Điểm uốn: Lấy đạo hàm cấp hai$y''=6x$, giải$y''=0 \Rightarrow x=0$. Vậy điểm uốn tại$(0;2)$.

[Bước 5] Lập bảng biến thiên

Tóm tắt các giá trị vào bảng:
-$x$tại$-\infty$,$-1$,$1$,$+\infty$
-$y$tại$-\infty$:$-\infty$, tại$-1$:$4$, tại$1$:$0$, tại$+\infty$:$+\infty$
- Dấu của$y'$, chiều biến thiên, ghi chú điểm uốn ở $x=0$.

[Bước 6] Vẽ đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên, các giá trị đặc biệt vừa tìm ở trên để dựng đồ thị chính xác, đảm bảo thể hiện rõ cực trị, điểm uốn, giao trục.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• -- Đạo hàm cấp 1, cấp 2,
  -- Điều kiện cực trị:$y'(x) = 0$
  -- Điều kiện điểm uốn:$y''(x) = 0$
  -- Phương trình hoành độ giao điểm trục Ox:$y = 0$
  -- Phương trình tung độ giao Oy:$x = 0$
  -- Cách tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang: với phân thức bậc cao—so sánh bậc tử/mẫu,…

6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

Tuỳ loại hàm:
- Với hàm phân thức: Phải kiểm tra kỹ tập xác định, xét tiệm cận đứng và ngang/chéo;
- Hàm căn thức: Giải điều kiện để biểu thức dưới căn không âm;
- Hàm trị tuyệt đối: Chia khoảng xét riêng từng công thức;
- Hàm mũ, logarit: Tập xác định, tính chất đơn điệu nổi bật.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $y = \frac{2x+1}{x-1}$.

1. Tập xác định:$x \ne 1$.
2. Tính đạo hàm:$y' = \frac{2(x-1) - (2x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x - 1}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2} < 0$với$x \ne 1$.
3. Hàm số luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
4. Giao trục:
   + Với Oy ($x=0$):$y=1$.
   + Với Ox ($y=0$):$2x+1=0 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{2}$.
5. Tiệm cận đứng:$x=1$;
   Tiệm cận ngang: Hệ số bậc trên bậc dưới$ightarrow \lim_{x\to \pm \infty}y=2$.
6. Bảng biến thiên tổng hợp:$x$tiến đến 1 từ trái,$y \rightarrow -\infty$; từ phải$y \rightarrow +\infty$.
   $x \rightarrow -\infty, y \rightarrow 2^-$.$x \rightarrow +\infty, y \rightarrow 2^+$.
7. Dựa trên các thông tin, vẽ đồ thị.

8. Bài tập thực hành

• Khảo sát và vẽ đồ thị $y = x^2 - 2x + 3$.
• Khảo sát và vẽ đồ thị $y = \frac{x+2}{x-2}$.
• Khảo sát và vẽ đồ thị $y = \sqrt{x-1}$.
• Khảo sát và vẽ đồ thị $y = |x-3|$.

9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán khảo sát, vẽ đồ thị

• Xác định đúng tập xác định, tránh xét ngoài miền xác định.
• Luôn lấy đủ các điểm đặc biệt để đồ thị chính xác (cực trị, tiệm cận, giao trục, điểm uốn, đối xứng nếu có).
• Kiểm tra kỹ dấu đạo hàm để xác định chu kỳ tăng giảm.
• Với hàm căn, logarit, phân thức đặc biệt chú ý điều kiện xác định và dấu của mẫu số.
• Luyện vẽ bằng tay thường xuyên để tăng khả năng trực quan.