Blog

Cách giải bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau – Chiến lược tổng thể và ví dụ chi tiết

T
Tác giả
5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Trong hình học không gian lớp 12, "khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau" là một dạng bài toán quan trọng bởi vì nó thể hiện mối liên hệ không gian ba chiều phức tạp hơn so với các đường thẳng song song, hoặc cắt nhau. Giải được bài toán này giúp học sinh hiểu sâu về cấu trúc không gian và rèn luyện khả năng tư duy hình học, cũng như kỹ năng vận dụng các công thức vector, tích có hướng và hình học giải tích.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán

Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cắt nhau, không song song và nằm trên hai mặt phẳng khác nhau trong không gian. Khoảng cách giữa chúng chính là độ dài đoạn vuông góc chung ngắn nhất nối hai đường thẳng đó. Dạng bài này có nhiều biến thể tùy vào cách cho đường thẳng (dạng tham số, ẩn số, hoặc qua điểm và vector chỉ phương v.v...).

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

  • Xác định rõ các phương trình của hai đường thẳng (dưới dạng tham số hoặc chứa điểm và vector chỉ phương).
  • Tính vector chỉ phương của mỗi đường thẳng và một vector nối hai điểm bất kỳ trên hai đường thẳng đó.
  • Tìm tích có hướng của hai vector chỉ phương để xác định phương của đoạn vuông góc chung.
  • Dùng công thức khoảng cách giữa hai đường chéo nhau qua tích vô hướng, tích có hướng.

4. Các bước giải bài toán chi tiết kèm ví dụ minh họa

Xét hai đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt có phương trình tham số:

{d1:r=a1+tu1d2:r=a2+su2\begin{cases} d_1: \vec{r} = \vec{a_1} + t\vec{u_1} \\d_2: \vec{r} = \vec{a_2} + s\vec{u_2} \\\end{cases}

Với:a1\vec{a_1},a2\vec{a_2}lần lượt là một điểm trênd1,d2d_1, d_2;u1\vec{u_1},u2\vec{u_2}là vector chỉ phương.

- Bước 1: Chọn điểmAAtrênd1d_1,BBtrênd2d_2(thường là các điểm ban đầu).

- Bước 2: Tính vectorAB=a2a1\vec{AB} = \vec{a_2} - \vec{a_1}.

- Bước 3: Tính tích có hướng:u1×u2\vec{u_1} \times \vec{u_2} để xác định phương vuông góc chung.

- Bước 4: Áp dụng công thức:

d=AB.(u1×u2)u1×u2d = \frac{|\vec{AB} \,. \, (\vec{u_1} \times \vec{u_2})|}{|\vec{u_1} \times \vec{u_2}|}

Trong đó,AB.(u1×u2)\vec{AB} \,. \, (\vec{u_1} \times \vec{u_2})là tích vô hướng,u1×u2|\vec{u_1} \times \vec{u_2}|là độ dài của tích có hướng.

Ví dụ chi tiết:

Cho hai đường thẳng:

d1:x11=y22=z31d_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{1}

d2:x2=y11=z11d_2: \frac{x}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{-1}

ChọnA(1,2,3)A(1,2,3)thuộcd1d_1,B(0,1,1)B(0,1,1)thuộcd2d_2.

u1=(1,2,1)\vec{u_1} = (1,2,1),u2=(2,1,1)\vec{u_2} = (2,1,-1)

AB=(01,12,13)=(1,1,2)\vec{AB} = (0-1,1-2,1-3) = (-1,-1,-2)

Tính tích có hướng:

u1×u2=<br/>ijk121211=(21,12,1122)=(3,1,3)\vec{u_1} \times \vec{u_2} = <br />\begin{vmatrix*} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\\end{vmatrix*} = (-2-1, 1-2, 1 \cdot 1-2 \cdot 2) = (-3,-1,-3)

Độ dài:
u1×u2=(3)2+(1)2+(3)2=9+1+9=19|\vec{u_1} \times \vec{u_2}| = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9+1+9} = \sqrt{19}

Tính tích vô hướng:
AB(u1×u2)=(1)(3)+(1)(1)+(2)(3)=3+1+6=10\vec{AB} \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2}) = (-1) \cdot (-3) + (-1) \cdot (-1) + (-2) \cdot (-3) = 3 + 1 + 6 = 10

Do đó:

d=1019=1019d = \frac{|10|}{\sqrt{19}} = \frac{10}{\sqrt{19}}

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Phương trình đường thẳng dạng tham số:r=a+tu\vec{r} = \vec{a} + t\vec{u}
  • Tích có hướng hai vector:u×v\vec{u} \times \vec{v}(tìm theo định thức)
  • Độ dài vector: v=vx2+vy2+vz2|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}
  • Tích vô hướng:ab=axbx+ayby+azbz\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z
  • Công thức chính:
    d=AB(u1×u2)u1×u2d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2})|}{|\vec{u_1} \times \vec{u_2}|}

6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

- Đôi khi đường thẳng cho dưới dạng khác (qua hai điểm, dạng ẩn). Học sinh phải chuyển về dạng tham số hoặc xác định đúng vector chỉ phương.
- Nếu bài toán không cho trực tiếp hai điểm trên hai đường thẳng, cần chọn điểm hợp lý dựa vào điều kiện bài toán.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập: Chod1:x23=y+11=z42d_1: \frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-4}{2}d2:x11=y22=z+31d_2: \frac{x-1}{-1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z+3}{1}.
Tính khoảng cách giữad1,d2d_1, d_2.

Giải:

ChọnA(2,1,4)d1A(2,-1,4) \in d_1,B(1,2,3)d2B(1,2,-3) \in d_2

u1=(3,1,2)\vec{u_1} = (3, -1, 2)
u2=(1,2,1)\vec{u_2} = (-1,2,1)
AB=(12,2(1),34)=(1,3,7)\vec{AB} = (1-2,2-(-1),-3-4) = (-1,3,-7)

u1×u2=ijk312121=((1)×12×2,2×(1)3×1,3×2(1)×(1))=(14,23,61)=(5,5,5)\vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix*} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\\end{vmatrix*} = ((-1) \times 1 - 2 \times 2, 2 \times (-1) - 3 \times 1, 3 \times 2 - (-1) \times (-1)) = (-1-4, -2-3, 6-1) = (-5,-5,5)

Độ dài:
u1×u2=(5)2+(5)2+52=25+25+25=53|\vec{u_1} \times \vec{u_2}| = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2 + 5^2} = \sqrt{25+25+25} = 5\sqrt{3}

Tích vô hướng:
AB(u1×u2)=(1)(5)+3(5)+(7)5=51535=45\vec{AB} \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2}) = (-1) \cdot (-5) + 3 \cdot (-5) + (-7) \cdot 5 = 5 - 15 - 35 = -45

Khoảng cách:
d=4553=93=33d = \frac{| -45 |}{5\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}
Vậy, khoảng cách giữa hai đường thẳng là 333\sqrt{3}.

8. Bài tập tự luyện

  • Chod1:x12=y1=z+21d_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z+2}{1}d2:x1=y22=z13d_2: \frac{x}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-1}{3}. Tính khoảng cách giữad1d_1d2d_2.
  • Cho hai đường thẳng lần lượt đi quaM(1,1,2)M(1,1,2),N(2,3,4)N(2,3,4)P(0,1,0)P(0,-1,0),Q(1,0,1)Q(1,0,1). Hãy viết phương trình tham số của hai đường và tính khoảng cách.

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm

  • Chuyển đổi chính xác giữa các dạng phương trình đường thẳng, xác định đúng vector chỉ phương.
  • Tính tích có hướng cẩn thận (chú ý dấu và thứ tự các thành phần).
  • Luôn lấy giá trị tuyệt đối khi tính khoảng cách.
  • Nếu hai vector chỉ phương song song thì hai đường không chéo nhau.
  • Kiểm tra lại các phép tính trước khi kết luận đáp án.
T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".