Cách giải bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau – Chiến lược tổng thể và ví dụ chi tiết
T
Tác giả
•
•5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc
1. Giới thiệu về bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Trong hình học không gian lớp 12, "khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau" là một dạng bài toán quan trọng bởi vì nó thể hiện mối liên hệ không gian ba chiều phức tạp hơn so với các đường thẳng song song, hoặc cắt nhau. Giải được bài toán này giúp học sinh hiểu sâu về cấu trúc không gian và rèn luyện khả năng tư duy hình học, cũng như kỹ năng vận dụng các công thức vector, tích có hướng và hình học giải tích.
2. Phân tích đặc điểm của bài toán
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cắt nhau, không song song và nằm trên hai mặt phẳng khác nhau trong không gian. Khoảng cách giữa chúng chính là độ dài đoạn vuông góc chung ngắn nhất nối hai đường thẳng đó. Dạng bài này có nhiều biến thể tùy vào cách cho đường thẳng (dạng tham số, ẩn số, hoặc qua điểm và vector chỉ phương v.v...).
3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán
Xác định rõ các phương trình của hai đường thẳng (dưới dạng tham số hoặc chứa điểm và vector chỉ phương).
Tính vector chỉ phương của mỗi đường thẳng và một vector nối hai điểm bất kỳ trên hai đường thẳng đó.
Tìm tích có hướng của hai vector chỉ phương để xác định phương của đoạn vuông góc chung.
Dùng công thức khoảng cách giữa hai đường chéo nhau qua tích vô hướng, tích có hướng.
4. Các bước giải bài toán chi tiết kèm ví dụ minh họa
Xét hai đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt có phương trình tham số:
{d1:r=a1+tu1d2:r=a2+su2
Với:a1,a2lần lượt là một điểm trênd1,d2;u1,u2là vector chỉ phương.
- Bước 1: Chọn điểmAtrênd1,Btrênd2(thường là các điểm ban đầu).
- Bước 2: Tính vectorAB=a2−a1.
- Bước 3: Tính tích có hướng:u1×u2 để xác định phương vuông góc chung.
- Bước 4: Áp dụng công thức:
d=∣u1×u2∣∣AB.(u1×u2)∣
Trong đó,AB.(u1×u2)là tích vô hướng,∣u1×u2∣là độ dài của tích có hướng.
Tính tích vô hướng: AB⋅(u1×u2)=(−1)⋅(−3)+(−1)⋅(−1)+(−2)⋅(−3)=3+1+6=10
Do đó:
d=19∣10∣=1910
5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ
Phương trình đường thẳng dạng tham số:r=a+tu
Tích có hướng hai vector:u×v(tìm theo định thức)
Độ dài vector: ∣v∣=vx2+vy2+vz2
Tích vô hướng:a⋅b=axbx+ayby+azbz
Công thức chính: d=∣u1×u2∣∣AB⋅(u1×u2)∣
6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược
- Đôi khi đường thẳng cho dưới dạng khác (qua hai điểm, dạng ẩn). Học sinh phải chuyển về dạng tham số hoặc xác định đúng vector chỉ phương. - Nếu bài toán không cho trực tiếp hai điểm trên hai đường thẳng, cần chọn điểm hợp lý dựa vào điều kiện bài toán.
7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết
Bài tập: Chod1:3x−2=−1y+1=2z−4và d2:−1x−1=2y−2=1z+3. Tính khoảng cách giữad1,d2.
Đăng ký danh sách email của chúng tôi và nhận những mẹo độc quyền, tin tức và ưu đãi đặc biệt được gửi thẳng đến hộp thư đến của bạn.
Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".
Theo dõi chúng tôi tại