Cách giải bài toán liên hệ đồ thị với tính chất hàm số: Chiến lược và ví dụ
1. Giới thiệu về loại bài toán này và tại sao nó quan trọng
Bài toán “liên hệ đồ thị với tính chất hàm số” thường xuất hiện trong chương trình Giải tích 12. Học sinh cần phân tích đồ thị của hàm số để xác định:
- Đạo hàm và dấu của đạo hàm;
- Khoảng đồng biến, nghịch biến;
- Cực trị và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất;
- Tiếp tuyến, tiếp xúc với trục, các tiệm cận;
- Mối quan hệ với các tham số.
Loại bài toán này quan trọng vì:
- Giúp rèn kỹ năng đọc hiểu và chuyển đổi giữa đồ thị, bảng biến thiên và công thức.
- Ứng dụng trong khảo sát hàm số tổng quát, giải phương trình, bất phương trình, khảo sát tham số.
- Là nền tảng cho các nội dung nâng cao trong ôn thi THPT Quốc gia và Đại học.
2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán này
Khi giải bài toán liên hệ đồ thị – tính chất hàm số, ta thường gặp các yêu cầu sau:
- Cho đồ thị , xác định tập xác định, đồ thị của hàm số biến dạng (dời đồ thị, co giãn).
- Cho đồ thị hoặc bảng biến thiên, yêu cầu dựng đồ thị .
- Xác định tọa độ điểm cực trị, điểm uốn, tiệm cận.
- Tìm giá trị tham số để đồ thị thỏa mãn điều kiện về giao điểm, tiếp xúc.
Đặc điểm chung:
- Phối hợp giữa hình học và đại số;
- Đòi hỏi tư duy trực quan và kỹ năng tính toán chính xác;
- Sử dụng thành thạo đạo hàm, bảng biến thiên và các phép biến hình đồ thị.
3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán
Bước 1: Đọc kỹ đề, xác định dạng bài.
Bước 2: Lập bảng biến thiên hoặc dự đoán dựa trên đồ thị cho sẵn.
Bước 3: Viết công thức đạo hàm, xác định dấu để tìm khoảng biến thiên.
Bước 4: Xác định điểm cực trị, điểm uốn, giá trị lớn nhẩt – nhỏ nhất.
Bước 5: Sử dụng kết quả để giải các yêu cầu: giao điểm, tham số, tiếp tuyến, tiệm cận.
Bước 6: Kiểm tra lại kết quả bằng đồ thị hoặc xét thêm các điều kiện ràng buộc.
4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa
Ví dụ minh họa: Cho đồ thị có bảng biến thiên:
x: -∞ | 0 | 2 | +∞
f′(x): + | 0 | − | 0 | +
f(x): tăng → 3 ← giảm → 1 → tăng
Yêu cầu:
a) Viết bảng biến thiên hoàn chỉnh.
b) Xác định cực đại, cực tiểu của hàm số.
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại.
d) Tìm để đường thẳngcắt đồ thị tại đúng hai điểm.
Bước a) Bảng biến thiên đã cho gần hoàn chỉnh. Chỉ cần ghi đầy đủ:
x: -∞ 0 2 +∞
f′(x): + 0 − 0 +
f(x):
−∞→↑ f(0)=3 ←↓ → f(2)=1 → +∞
Bước b) Cực đại:. Cực tiểu:.
Bước c) Công thức tiếp tuyến tại:
Tại:,. Vậy tiếp tuyến:
Bước d) Đường thẳngcắt đồ thị khi phương trình
có đúng hai nghiệm phân biệt. Dựa vào biến thiên, đồ thị có hai vị trí giao khi đường thẳng đi qua giữa cực đại và cực tiểu. Điều kiện:
Tức
5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ
- Công thức tính tiếp tuyến:
- Điều kiện đồng biến, nghịch biến:,.
- Cực trị: nghiệm của, đổi dấu của.
- Tiệm cận đứng: nghiệm mẫu số; tiệm cận ngang:khi
6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược
1. Biến hình đồ thị: dời lên, dời xuống, co giãn. Cần xác định hoán vị:
2. Đồ thị hàm hợp:. Phân tích thứ tự biến thiên.
3. Cho đồ thị . Cần dựng bảng biến thiên rồi phác thảo.
4. Tham số trong hàm số: giải điều kiện về số nghiệm giao nhau, điều kiện tiếp xúc.
7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước
Bài tập: Cho đồ thị hàm số có:
- Khi,;
- Tại,và ;
- Khi,;
- Tại,và ;
- Khi,;
và ,.
Yêu cầu:
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ bảng biến thiên.
b) Xác định các điểm cực trị và tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại.
d) Tìm tất cả để phương trìnhcó đúng ba nghiệm.
Lời giải:
Bước a) Bảng biến thiên:
x: -∞ –1 2 +∞
f′: + 0 − 0 +
f: –∞→↑ f(–1)=4 →↓ f(2)=0 →↑ +∞
Bước b) Cực đại tạivới giá trị , cực tiểu tạivới giá trị .
Bước c), phương trình tiếp tuyến:
Bước d) Phương trìnhcó ba nghiệm khinằm giữa giá trị cực tiểu và cực đại, tức:
8. Bài tập thực hành để học sinh tự làm
1. Cho đồ thị có bảng biến thiên: xác định(đồ thị phác thảo).
2. Cho đồ thị : hỏi đồ thị như thế nào?
3. Tìmđểvà tiếp xúc tại đúng một điểm.
9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến
- Luôn kiểm tra dấu củakỹ càng.
- Khi dựng đồ thị từ , nhớ cộng hằng.
- Không bỏ sót tiệm cận; xét cả tiệm cận ngang, dọc, xiên.
- Với tham số, vẽ đồ thị tham khảo rồi hình dung chuyển động giao điểm.
- Kiểm tra lại nghiệm sau cùng bằng cách cắm vào đồ thị hoặc bảng biến thiên.
Tác giả
Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.
Theo dõi chúng tôi tại