Cách giải bài toán Nguyên hàm từng phần: Chiến lược, ví dụ minh họa và bài tập luyện tập

1. Giới thiệu về bài toán nguyên hàm từng phần và tầm quan trọng

Bài toán nguyên hàm từng phần là một dạng chủ đạo trong chuyên đề nguyên hàm, tích phân thuộc chương trình toán lớp 12. Kỹ thuật này giúp giải các bài toán nguyên hàm của tích hai hàm số, xuất hiện rất nhiều trong đề thi THPT Quốc gia cũng như các kỳ kiểm tra. Nắm vững cách giải bài toán nguyên hàm từng phần không chỉ giúp bạn vững vàng về lý thuyết mà còn tăng khả năng giải quyết nhanh các bài tập nâng cao.

2. Đặc điểm của bài toán nguyên hàm từng phần

Những bài toán này thường có dạng tích hai hàm:$\int u(x)v'(x)dx$hoặc$\int u(x)v(x)dx$, trong đó việc chọn được hàm "u" (để lấy vi phân) và hàm "dv" (để lấy nguyên hàm) là quyết định quan trọng. Đặc trưng dạng bài:

• Tích của một hàm đa thức với một hàm lượng giác, logarit, mũ, hoặc hàm khác.
• Một trong hai thành phần dễ lấy đạo hàm còn thành phần còn lại dễ lấy nguyên hàm.
• Một số bài nguyên hàm lặp đi lặp lại quy trình từng phần nhiều lần.

3. Chiến lược tổng thể và quy trình định hướng giải

Để giải hiệu quả bài toán bằng phương pháp nguyên hàm từng phần, cần làm theo các bước sau:

1. Xác định bài toán có nên áp dụng phương pháp từng phần không (dựa vào nhận diện dạng tích hoặc một hàm dễ vi phân, một hàm dễ nguyên hàm).
2. Đặt$u$và $dv$phù hợp:$u$là hàm ưu tiên chọn để lấy vi phân (dễ vi phân dần về 0),$dv$là phần còn lại.
3. Tính$du$(đạo hàm của$u$) và $v$(nguyên hàm của$dv$).
4. Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần.
5. Tính tiếp các nguyên hàm còn lại; nếu cần, tiếp tục áp dụng từng phần cho đến khi đưa về dạng quen thuộc.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính $\int$x$\sin$ x\, dx

1. Bước 1: Chọn $u = x$(dễ vi phân),$dv = \sin x dx$ (dễ lấy nguyên hàm).
2. Bước 2: Tính $du = dx$, $v = -\cos x$(vì $\int \sin x dx = -\cos x$).
3. Bước 3: Áp dụng công thức:
   $\int x\sin x dx = x ( -\cos x) - \int ( -\cos x) dx = -x\cos x + \int \cos x dx$
4. Bước 4: Tính tiếp $\int \cos x dx = \sin x$.
5. Bước 5: Kết luận: $\int x\sin x dx = -x\cos x + \sin x + C$.

Ví dụ 2: Tính$\int x e^x dx$

1. Chọn$u = x$,$dv = e^x dx$.
2. $du = dx$,$v = e^x$.
3. Áp dụng công thức:$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$
4. Vậy$\int x e^x dx = (x - 1) e^x + C$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Công thức nguyên hàm từng phần tổng quát:

- Quy tắc LIATE giúp ưu tiên chọn$u$(theo thứ tự): Logarithm, Inverse Trigonometric, Algebraic, Trigonometric, Exponential.

- Một số công thức nguyên hàm cơ bản cần nhớ:

• $\int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C$
• $\int \sin ax dx = -\frac{1}{a} \cos ax + C$
• $\int \cos ax dx = \frac{1}{a} \sin ax + C$

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

- Nguyên hàm lặp lại từng phần: Áp dụng liên tiếp nhiều lần (ví dụ:$\int x^n e^x dx$).
- Nguyên hàm chứa logarit: Ưu tiên lấy logarit là $u$.
- Nguyên hàm lượng giác đặc biệt: Có thể kết hợp biến đổi lượng giác, hoặc áp dụng từng phần hai lần để giải hệ số có chứa chính nguyên hàm ban đầu.

Ví dụ biến thể: Tính $\int e^x \sin x dx$.

Đặt $u = \sin x, \ dv = e^x dx$. Khi thực hiện, kết quả quay trở lại nguyên hàm ban đầu, phải thiết lập phương trình và giải.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết từng bước

Bài toán: Tính$\int x \ln x dx$.

1. Bước 1: Chọn$u = \ln x$(ưu tiên theo LIATE),$dv = x dx$.
2. Bước 2:$du = \frac{1}{x} dx$,$v = \frac{x^2}{2}$.
3. Bước 3: Áp dụng công thức:
   $\int x \ln x dx = \ln x \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x dx$
4. Bước 4:$\int x dx = \frac{x^2}{2}$, thay vào:
   $\frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C$

8. Bài tập thực hành cho học sinh tự làm

• Tính$\int x^2 e^x dx$.
• Tính$\int x \cos x dx$.
• Tính$\int x^3 \ln x dx$.
• Tính$\int e^x \cos x dx$.
• Tính$\int x^2 \ln x dx$.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Nhớ đúng quy tắc dấu của công thức từng phần.
• Khi chọn$u$, ưu tiên chọn hàm sau cùng sẽ biến mất sau khi lấy vi phân (theo quy tắc LIATE).
• Không nhầm lẫn giữa đạo hàm và nguyên hàm trong các bước tính toán.
• Nếu nguyên hàm tiếp tục phức tạp, cân nhắc liệu có thể biến đổi biểu thức hoặc lặp lại phương pháp.
• Đừng quên cộng hằng số $C$ ở cuối kết quả nguyên hàm.