1. Giới thiệu về loại bài toán nhận biết vectơ trong không gian

Bài toán nhận biết vectơ trong không gian là một nội dung trọng tâm trong chương trình Toán 12. Việc xác định vectơ khi cho các điểm, đường thẳng hoặc mặt phẳng không chỉ giúp các em phát triển tư duy hình học không gian mà còn là nền tảng để giải quyết các bài toán tích có hướng, tích vô hướng và các ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu chiến lược tổng thể, các bước giải chi tiết và ví dụ minh hoạ để nắm chắc cách giải bài toán nhận biết vectơ trong không gian.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán

Các bài toán nhận biết vectơ trong không gian thường có các đặc điểm sau:

- Cho các điểm$A,B,C,\dots$và yêu cầu xác định vectơ hướng từ điểm này đến điểm kia.

- Kiểm tra song song, vuông góc hoặc thẳng hàng của hai hoặc nhiều vectơ.

- Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng hoặc vectơ chỉ phương của đường thẳng.

- Áp dụng vào vị trí tương đối điểm–đường thẳng–mặt phẳng trong không gian ba chiều.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Trước khi giải, hãy vạch ra lộ trình sau:

- Xác định đầy đủ các điểm và vectơ liên quan từ dữ kiện đề bài.

- Chọn hệ trục tọa độ phù hợp (thường dùng$Oxyz$tiêu chuẩn).

- Viết toạ độ các vectơ cơ bản dưới dạng$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\,y_B-y_A,\,z_B-z_A)$.

- Áp dụng các phép toán vectơ (cộng, trừ, tích vô hướng, tích có hướng) để kiểm tra song song, vuông góc hoặc thẳng hàng.

- Diễn giải kết quả về vị trí tương đối của hình học (điểm trên đường thẳng, điểm trong mặt phẳng…).

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định toạ độ các vectơ

Cho ba điểm$A(1,2,3)$,$B(4,0,5)$và $C(2,1,3)$, ta tính:

$\overrightarrow{AB}=(4-1,\,0-2,\,5-3)=(3,-2,2),$

$\overrightarrow{AC}=(2-1,\,1-2,\,3-3)=(1,-1,0).$

Bước 2: Kiểm tra thẳng hàng hoặc song song

Hai vectơ thẳng hàng khi tồn tại$k$sao cho$\overrightarrow{AB}=k\,\overrightarrow{AC}$. So sánh các thành phần:

Vì ba tỷ số không đồng nhất, nên$\overrightarrow{AB}$không thẳng hàng với$\overrightarrow{AC}$.

Bước 3: Tính vectơ pháp tuyến (nếu cần)

Nếu yêu cầu phương trình mặt phẳng đi qua$A,B,C$, ta chọn hai vectơ chỉ phương$\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AC}$rồi tính tích có hướng:

Phương trình mặt phẳng:

$2(x-1)+2(y-2)-(z-3)=0\quad\Longrightarrow\quad 2x+2y-z-3=0.$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Tọa độ vectơ:$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\,y_B-y_A,\,z_B-z_A)$

- Tích vô hướng:$\vec u \cdot \vec v = u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z$

- Điều kiện vuông góc:$\vec u \cdot \vec v=0$

- Tích có hướng:

- Điều kiện song song:$\vec u \times \vec v=\vec 0$hoặc$\frac{u_x}{v_x}=\frac{u_y}{v_y}=\frac{u_z}{v_z}$

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

- Nhận biết vectơ chỉ phương của đường thẳng cho trước qua hai điểm.

- Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết ba điểm không thẳng hàng.

- Kiểm tra vị trí tương đối điểm–đường thẳng (điểm trên/dưới/dưới).

- Bài toán khoảng cách từ điểm đến đường thẳng/mặt phẳng sử dụng tích có hướng.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Cho$A(0,1,2)$,$B(2,-1,1)$,$D(3,2,0)$. Hỏi điểm$D$có nằm trên đường thẳng$AB$không? Nếu có, tìm hệ số tham số.

Lời giải:

1) Tính$\overrightarrow{AB}=(2,-1,1)-(0,1,2)=(2,-2,-1)$và $\overrightarrow{AD}=(3,2,0)-(0,1,2)=(3,1,-2)$.

2) Giả sử $\overrightarrow{AD}=k\,\overrightarrow{AB}$. So sánh:

$\frac{3}{2}=1.5,\quad \frac{1}{-2}=-0.5,\quad \frac{-2}{-1}=2.$

Ba tỷ số không đồng nhất nên$D$không nằm trên$AB$.

8. Bài tập thực hành

- Cho$E(1,0,1)$,$F(3,2,4)$. Tính$\overrightarrow{EF}$và kiểm tra nó có vuông góc với$\overrightarrow{FE}$không.

- Tìm vectơ pháp tuyến mặt phẳng qua$P(2,1,0)$,$Q(1,3,2)$,$R(4,0,1)$.

- Cho đường thẳng$d: \vec r=(1,2,3)+t(2,-1,1)$. Kiểm tra xem điểm$M(5,0,6)$có thuộc$d$không.

- Tính khoảng cách từ $N(0,0,0)$ đến mặt phẳng$2x-y+z-4=0$.

- Cho vectơ $\vec a=(1,2,3)$,$\vec b=(4,5,6)$. Tính$\vec a \times \vec b$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

- Luôn kiểm tra thứ tự trừ trong$\overrightarrow{AB}=(B-A)$ để tránh dấu sai.

- So sánh tỉ số thành phần đúng thứ tự, lưu ý thành phần bằng 0.

- Khi tính tích có hướng, ghi nhớ công thức định thức 3×3 và dấu cộng, trừ chính xác.

- Vẽ hình minh hoạ để hình dung vị trí điểm – đường thẳng – mặt phẳng.