Cách giải bài toán Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm – Hướng dẫn chiến lược và ví dụ minh họa

1. Giới thiệu về bài toán phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài toán về "phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm" là một trong những dạng bài tập trọng tâm trong chương trình toán lớp 12, đặc biệt trong các bài học về thống kê và xác suất. Việc tính toán phương sai giúp ta đo lường mức độ phân tán của các đại lượng, số liệu quanh giá trị trung bình, là cơ sở để so sánh sự biến thiên của các tập hợp số liệu khác nhau. Dạng bài này thường xuất hiện trong kiểm tra, thi học kỳ và ôn luyện thi THPT Quốc gia.

2. Đặc điểm của bài toán phương sai mẫu số liệu ghép nhóm

• Dữ liệu đã được chia thành các nhóm (lớp) với tần số xác định.
• Mỗi nhóm số liệu thường được biểu diễn dưới dạng khoảng (nhóm giá trị), ví dụ: [a, b), [b, c),…
• Tính phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) căn cứ vào số liệu ghép nhóm.
• Phải xác định các giá trị trung tâm của mỗi nhóm số liệu.

3. Chiến lược tổng thể để giải quyết bài toán

1. Đọc kỹ đề, xác định rõ các nhóm số liệu, tần số, số lượng nhóm, tổng số mẫu.
2. Tính điểm giữa (giá trị trung tâm) cho từng nhóm số liệu.
3. Tính trung bình cộng mẫu ghép nhóm ($\overline{x}$) bằng công thức:
4. $\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} n_i x_i$
   
   trong đó:
   - $n_i$là tần số nhóm$i$
   - $x_i$là điểm giữa nhóm$i$
   - $n$ là tổng số mẫu ($n = n_1 + n_2 +... + n_k$)
5. Tính phương sai (squared deviation) mẫu ghép nhóm theo công thức:
6. $s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} n_i (x_i - \overline{x})^2$

4. Các bước chi tiết giải quyết bài toán với ví dụ minh họa

Giả sử bạn có bảng số liệu ghép nhóm như sau:

1. Xác định số lượng nhóm$k=4$, các tần số $n_1=5$,$n_2=10$,$n_3=8$,$n_4=7$.
2. Tính điểm giữa:
   -$x_1 = \frac{10+20}{2} = 15$
   -$x_2 = \frac{20+30}{2} = 25$
   -$x_3 = \frac{30+40}{2} = 35$
   -$x_4 = \frac{40+50}{2} = 45$
3. Tổng số mẫu:$n = 5 + 10 + 8 + 7 = 30$
4. Tính trung bình cộng:
   $\overline{x} = \frac{1}{30} (5 \times 15 + 10 \times 25 + 8 \times 35 + 7 \times 45)$
   $= \frac{1}{30}(75 + 250 + 280 + 315) = \frac{1}{30}\times 920 = 30.67$
5. Tính phương sai:
   
   - Tính từng giá trị $(x_i - \overline{x})^2$:
   - $(15 - 30.67)^2 = (-15.67)^2 \approx 245.42$
   - $(25 - 30.67)^2 = (-5.67)^2 \approx 32.11$
   - $(35 - 30.67)^2 = 4.33^2 \approx 18.76$
   - $(45 - 30.67)^2 = 14.33^2 \approx 205.44$
   
   - Tính tổng:
   $\sum n_i (x_i - \overline{x})^2 = 5 \times 245.42 + 10 \times 32.11 + 8 \times 18.76 + 7 \times 205.44 <br>$= 1227.1 + 321.1 + 150.08 + 1438.08 = 3136.36$<br>- Tính phương sai:<br> s^2 = \frac{3136.36}{30} \approx 104.55$

Vậy phương sai mẫu ghép nhóm của bảng số liệu này là $104.55$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức điểm giữa:
  $x_i = \frac{a_i + b_i}{2}$
  trong đó $a_i, b_i$lần lượt là cận dưới và cận trên của nhóm$i$.
• Công thức trung bình cộng:
  $\overline{x} = \frac{1}{n}\sum n_i x_i$
• Công thức phương sai:
  $s^2 = \frac{1}{n}\sum n_i (x_i - \overline{x})^2$
• Nếu đề yêu cầu độ lệch chuẩn:
  $s = \sqrt{s^2}$

6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

Có một số biến thể thường gặp với dạng bài này:

• • Đề yêu cầu tính độ lệch chuẩn thay vì phương sai: Lấy căn bậc hai phương sai.
• • Có thêm hoặc bớt nhóm số liệu: Linh hoạt thêm nhóm, lập lại các bước.
• • Đề bài cho bảng số liệu chưa nhóm, yêu cầu nhóm lại trước khi tính.
• • Đề yêu cầu so sánh phương sai mẫu của hai bảng số liệu ghép nhóm.

7. Bài tập mẫu – Giải chi tiết từng bước

Bài tập: Cho bảng thống kê ghép nhóm sau về số giờ tự học mỗi ngày của học sinh lớp 12:

Tính phương sai số giờ tự học mỗi ngày của học sinh trong mẫu.

1. - Các nhóm:
   -$[1,3)$:$n_1 = 6$,$x_1 = 2$
   -$[3,5)$:$n_2 = 12$,$x_2 = 4$
   -$[5,7)$:$n_3 = 9$,$x_3 = 6$
   -$[7,9)$:$n_4 = 3$,$x_4 = 8$
2. - Tổng số mẫu:$n = 6+12+9+3=30$
3. - Trung bình cộng:
   $\overline{x} = \frac{1}{30}(6 \times 2 + 12 \times 4 + 9 \times 6 + 3 \times 8) = \frac{1}{30}(12 + 48 + 54 + 24) = \frac{138}{30} = 4.6$
4. - Phương sai:
   -$(x_1 - \overline{x})^2 = (2-4.6)^2 = 6.76$
   -$(x_2 - \overline{x})^2 = (4-4.6)^2 = 0.36$
   -$(x_3 - \overline{x})^2 = (6-4.6)^2 = 1.96$
   -$(x_4 - \overline{x})^2 = (8-4.6)^2 = 11.56$
   
   Tổng:$6 \times 6.76 = 40.56$
   $12 \times 0.36 = 4.32$
   $9 \times 1.96 = 17.64$
   $3 \times 11.56 = 34.68$
   
   Cộng lại:$40.56 + 4.32 + 17.64 + 34.68 = 97.2$
   
   Phương sai:
   $s^2 = \frac{97.2}{30} = 3.24$

Vậy phương sai số giờ tự học mỗi ngày của học sinh là $3.24$.

8. Bài tập thực hành

1. Cho bảng thống kê về chiều cao (đơn vị: cm) của học sinh khối 12 một trường THPT:
2. Nhóm [150, 155): 4 học sinh
   Nhóm [155, 160): 10 học sinh
   Nhóm [160, 165): 16 học sinh
   Nhóm [165, 170): 8 học sinh
   Nhóm [170, 175): 2 học sinh
   Tính phương sai chiều cao của mẫu số liệu này.
3. Nếu phải so sánh độ phân tán của hai lớp A và B, hãy tiến hành tính phương sai cho từng lớp (khi đề cho bảng nhóm tương ứng) và nhận xét.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm khi giải bài toán phương sai mẫu ghép nhóm

• Luôn tính đúng điểm giữa của mỗi nhóm, không lấy sai số liệu biên.
• Nhớ kiểm tra tổng tần số phải đúng với tổng mẫu yêu cầu đề.
• Dùng công thức chính xác, phân biệt trung bình cộng mẫu ghép nhóm với trung bình cộng cho số liệu rời rạc.
• Nếu có yêu cầu độ lệch chuẩn, đừng quên lấy căn bậc hai phương sai.
• Chú ý đến các trường hợp đặc biệt (nhóm có tần số nhỏ, bảng số liệu chưa đầy đủ...).