Cách giải bài toán phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12 – Hướng dẫn từng bước và mẹo luyện tập

1. Giới thiệu về loại bài toán "Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm" và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán 12, chủ đề "phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm" là một dạng bài tập nổi bật trong thống kê, xuất hiện thường xuyên trong các đề kiểm tra, đề thi THPT Quốc gia. Bài toán này giúp học sinh hiểu và vận dụng các khái niệm về sự phân tán dữ liệu, một ứng dụng thiết thực trong khoa học và đời sống thực tế. Bên cạnh trung bình cộng (mean), phương sai là thước đo quan trọng để đánh giá mức độ phân tán của dữ liệu, từ đó nâng cao tư duy logic và năng lực giải quyết vấn đề thống kê.

2. Đặc điểm của bài toán phương sai mẫu ghép nhóm

• Dữ liệu được trình bày dưới dạng bảng ghép nhóm (bảng tần số), trong đó mỗi nhóm gồm khoảng giá trị và tần số.
• Phải thay thế trị số nhóm bằng giá trị trung bình (cận giữa) của nhóm đó.
• Tính trung bình cộng và phương sai dựa trên dữ liệu nhóm.
• Phương sai mẫu khác phương sai tổng thể ở mẫu số (n-1 thay vì n).

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận và giải quyết bài toán

Để giải nhanh và chính xác bài toán phương sai mẫu số liệu ghép nhóm, học sinh nên đi theo các bước sau:

• Bước 1: Xác định cận giữa (giá trị đại diện) của từng nhóm.
• Bước 2: Tính trung bình cộng mẫu ghép nhóm.
• Bước 3: Tính phương sai của mẫu ghép nhóm.
• Bước 4: Kiểm tra lại kết quả, chú ý mẫu số dùng đúng (n-1 hoặc n).

4. Hướng dẫn chi tiết từng bước giải cùng ví dụ minh họa

Xét ví dụ sau: Cho bảng dữ liệu về chiều cao của một nhóm học sinh lớp 12 (đơn vị: cm):

Bảng tần số nhóm:

| Khoảng chiều cao (cm) | Số HS (fi) |
|---------------------|-----------|
| 150 – 154 | 3 |
| 155 – 159 | 7 |
| 160 – 164 | 10 |
| 165 – 169 | 5 |
| 170 – 174 | 2 |

Bước 1: Xác định cận giữa (giá trị đại diện) cho mỗi nhóm

Cận giữa$x_i$=$\frac{a_i + b_i}{2}$, với$a_i$và $b_i$là cận dưới, cận trên của nhóm thứ $i$.

Tính toán:

• Nhóm 1:$x_1 = \frac{150 + 154}{2} = 152$
• Nhóm 2:$x_2 = \frac{155 + 159}{2} = 157$
• Nhóm 3:$x_3 = \frac{160 + 164}{2} = 162$
• Nhóm 4:$x_4 = \frac{165 + 169}{2} = 167$
• Nhóm 5:$x_5 = \frac{170 + 174}{2} = 172$

Bước 2: Tính trung bình cộng mẫu ($\bar{x}$)

Áp dụng công thức trung bình cộng mẫu ghép nhóm:

$<br />\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} f_i x_i<br />$
Trong đó:
- $f_i$: tần số nhóm $i$
- $x_i$: cận giữa nhóm $i$
- $n$: tổng số mẫu = tổng các $f_i$

Tính tổng số học sinh:$n = 3 + 7 + 10 + 5 + 2 = 27$

Tính$f_i x_i$cho từng nhóm:

• Nhóm 1:$3 \times 152 = 456$
• Nhóm 2:$7 \times 157 = 1099$
• Nhóm 3:$10 \times 162 = 1620$
• Nhóm 4:$5 \times 167 = 835$
• Nhóm 5:$2 \times 172 = 344$

Tổng:$456 + 1099 + 1620 + 835 + 344 = 4354$

Vậy:
$<br />\bar{x} = \frac{4354}{27} \approx 161.26<br />$

Bước 3: Tính phương sai mẫu ghép nhóm ($S^2$)

Phương sai mẫu ghép nhóm được tính bằng công thức:

$<br />S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^k f_i (x_i - \bar{x})^2<br />$

Tính$f_i (x_i - \bar{x})^2$từng nhóm:

• Nhóm 1:$3 (152 - 161.26)^2 = 3 \times (−9.26)^2 \approx 3 \times 85.77 = 257.31$
• Nhóm 2:$7 (157 - 161.26)^2 = 7 \times (−4.26)^2 \approx 7 \times 18.15 = 127.05$
• Nhóm 3:$10 (162 - 161.26)^2 = 10 \times (0.74)^2 \approx 10 \times 0.548 = 5.48$
• Nhóm 4:$5 (167 - 161.26)^2 = 5 \times (5.74)^2 \approx 5 \times 32.95 = 164.75$
• Nhóm 5:$2 (172 - 161.26)^2 = 2 \times (10.74)^2 \approx 2 \times 115.36 = 230.72$

Tổng cộng:$257.31 + 127.05 + 5.48 + 164.75 + 230.72 = 785.31$

Vậy phương sai mẫu là:
$<br />S^2 = \frac{785.31}{27-1} = \frac{785.31}{26} \approx 30.20<br />$

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Cận giữa nhóm:$x_i = \frac{a_i + b_i}{2}$
• Trung bình cộng: $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum f_i x_i$
• Phương sai tổng thể: $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum f_i (x_i - \bar{x})^2$
• Phương sai mẫu: $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum f_i (x_i - \bar{x})^2$
• Có thể biến đổi công thức:
  
  
  $$S^2 = \frac{1}{n-1} \left[$$
  \sum f_i x_i^2 - n \bar{x}^2
  \right]
  
  
  (Tự chứng minh giúp luyện kỹ năng biến đổi đại số)

6. Các biến thể thường gặp & cách điều chỉnh chiến lược

• Dữ liệu có nhóm đầu/cuối dạng mở (ví dụ: "dưới 150" hoặc "trên 180"): Cần giả sử cận ngoài hợp lý hoặc bỏ nhóm này nếu không cần chính xác tuyệt đối.
• Yêu cầu tính độ lệch chuẩn thay vì phương sai: Lấy căn bậc hai của phương sai ($S = \sqrt{S^2}$).
• Bài toán kết hợp so sánh phương sai của hai dãy dữ liệu: Giải độc lập từng phương sai sau đó phân tích kết quả.
• Sử dụng công thức rút gọn cho bài toán dữ liệu lớn hoặc khi đề chỉ hỏi "số gần đúng".

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập: Một nhóm học sinh đo thời gian hoàn thành bài kiểm tra Toán (phút), số liệu ghép nhóm như sau:
| Khoảng thời gian | Số học sinh |
|------------------|-------------|
| 20 – 24 | 4 |
| 25 – 29 | 8 |
| 30 – 34 | 6 |
| 35 – 39 | 2 |
Hãy tính phương sai mẫu thời gian làm bài.

Lời giải từng bước:

1. Tính cận giữa mỗi nhóm:
   -$x_1=22$,$x_2=27$,$x_3=32$,$x_4=37$.
2. Tổng số học sinh:$n=4+8+6+2=20$
3. Tính$\bar{x}$:
   $4 \times 22 = 88$
   $8 \times 27 = 216$
   $6 \times 32 = 192$
   $2 \times 37 = 74$
   
   Tổng:$88+216+192+74=570$
   
   $\bar{x} = \frac{570}{20} = 28.5$
4. Tính$f_i(x_i - \bar{x})^2$:
   - Nhóm 1:$4 \times (22-28.5)^2 = 4 \times 42.25 = 169$
   - Nhóm 2:$8 \times (27-28.5)^2 = 8 \times 2.25 = 18$
   - Nhóm 3:$6 \times (32-28.5)^2 = 6 \times 12.25 = 73.5$
   - Nhóm 4:$2 \times (37-28.5)^2 = 2 \times 72.25 = 144.5$
   Tổng:$169+18+73.5+144.5=405$
5. $S^2 = \frac{405}{20-1} = \frac{405}{19} \approx 21.32$(Đáp số:$\approx 21.32$phút$^2$)

8. Bài tập thực hành tự làm

Bài 1: Một nhóm học sinh có điểm kiểm tra Toán (trên 10 điểm) được chia thành các nhóm như sau:

| Nhóm điểm | Số học sinh |
|-----------|-------------|
| 2 - 4 | 3 |
| 5 - 6 | 7 |
| 7 - 8 | 10 |
| 9 - 10 | 5 |
Hãy tính phương sai mẫu điểm kiểm tra của nhóm học sinh này!

Bài 2: Trong một lớp học, số học sinh đạt nhóm cân nặng (kg) và tần số:

| Nhóm cân nặng | Số HS |
|--------------|--------|
| 40-44 | 5 |
| 45-49 | 14 |
| 50-54 | 8 |
| 55-59 | 3 |
Tính phương sai mẫu cân nặng học sinh!

9. Mẹo và lưu ý khi giải bài toán phương sai mẫu ghép nhóm

• Luôn kiểm tra tổng tần số $n$với bài tập cho đủ dữ liệu, tránh cộng thiếu!
• Cận giữa nhóm phải tính chính xác, nhất là với nhóm đầu và nhóm cuối.
• Luôn xác định rõ yêu cầu đề: Phương sai mẫu ($n-1$) hay phương sai tổng thể ($n$).
• Có thể dùng công thức tổng quát rút gọn nếu số liệu lớn.
• Khi đề bài cho nhóm mở, hãy trao đổi với giáo viên cách chọn giá trị đại diện.

Tổng kết

Trên đây là chiến lược chi tiết cho "cách giải bài toán phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm" dành cho học sinh lớp 12. Nắm vững các bước, công thức, ví dụ này sẽ giúp bạn tự tin giải nhanh, chính xác các dạng bài tập trong thi cử cũng như ứng dụng vào thực tế.