Cách giải bài toán Phương trình đường thẳng qua hai điểm (Toán 12): Hướng dẫn chi tiết & Bài tập mẫu

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng qua hai điểm$A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2)$: \\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)" data-math-type="inline"> undefined
• Bước 3. Viết phương trình tham số:
  
  $$\begin{cases}$$
  x = 1 + 3t \\y = 2 - 2t \\z = 3 - 4t
  \\\end{cases},\t \in \mathbb{R}
• Bước 4. Viết phương trình chính tắc:
  $\frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z-3}{-4}$
• Bước 5. Kiểm tra:
  Thay$t=0$vào phương trình tham số, được$A(1,2,3)$. Thay$t=1$, được$B(4,0,-1)$. Như vậy, phương trình đúng.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng qua hai điểm$A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2)$: \\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$ .
• Dạng tham số tổng quát:
  
  \begin{cases}
  x = x_1 + at \\y = y_1 + bt \\z = z_1 + ct
  \\\end{cases},\t \in \mathbb{R}<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>&lt;</mo><mi>b</mi><mi>r</mi><mo>&gt;</mo><mi>v</mi><mtext>ớ</mtext><mi>i</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">&lt;br&gt;với</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.5782em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mrel">&lt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7335em;vertical-align:-0.0391em;"></span><span class="mord mathnormal">b</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">r</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&gt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6595em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.03588em;">v</span><span class="mord">ớ</span><span class="mord mathnormal">i</span></span></span></span></span>(a, b, c)
  là toạ độ của vectơ chỉ phương.
• Dạng chính tắc:
  $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$
• Với đường thẳng trong mặt phẳng$Oxy$, chỉ lấy hai toạ độ. Ví dụ:
  $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

6. Các biến thể của bài toán & Điều chỉnh chiến lược

a. Bài toán cho hai điểm trong mặt phẳng$Oxy$chỉ có$x, y$. b. Yêu cầu tìm phương trình giao của đường thẳng với mặt phẳng: Sau khi có phương trình tham số, thay toạ độ vào phương trình mặt phẳng, tìm$t$, từ đó tìm giao điểm. c. Khi bài toán cho số liệu dạng véc tơ chỉ phương với một điểm thì chỉ cần chép lại dạng tham số hoặc chính tắc như trên. Lưu ý: Luôn xác định đúng thứ tự các điểm khi tính vectơ chỉ phương.

7. Bài tập mẫu – Lời giải chi tiết từng bước

Bài tập: Cho hai điểm$M(2,-1,5)$và $N(0,3,1)$. Viết phương trình đường thẳng$d$ đi qua$M$và $N$.

Giải:

• Bước 1. Toạ độ hai điểm$M(2,-1,5)$và $N(0,3,1)$.
• Bước 2. Vectơ chỉ phương:
  $$\\overrightarrow{MN} = (0-2,3-(-1),1-5) = (-2,4,-4)$$
  .
• Bước 3. Phương trình tham số:
  
  $$\begin{cases}$$
  x = 2 - 2t \\y = -1 + 4t \\z = 5 - 4t
  \\\end{cases},\t \in \mathbb{R}
• Bước 4. Phương trình chính tắc:
  $\frac{x-2}{-2} = \frac{y+1}{4} = \frac{z-5}{-4}$

8. Bài tập thực hành tự luyện

1. Cho hai điểm$P(3,2,-1)$và $Q(6,5,2)$. Viết phương trình đường thẳng đi qua$P$và $Q$theo dạng tham số và chính tắc.

2. Cho$A(1,0,2)$,$B(5,3,4)$. Viết phương trình đường thẳng$AB$và kiểm tra giao với mặt phẳng$(Oxy)$(tức là $z=0$).

3. Trong mặt phẳng$Oxy$, cho$C(1,3)$,$D(4,9)$. Viết phương trình đường thẳng$CD$.

Học sinh tự giải vào vở, sau đó đối chiếu lời giải mẫu.

9. Mẹo, lưu ý và sai lầm thường gặp

• Tính đúng vectơ chỉ phương, tránh nhầm lẫn dấu khi lấy$B-A$hay$A-B$.
• Luôn thay thử tọa độ hai điểm ban đầu vào phương trình để kiểm tra kết quả.
• Nhớ phân biệt dạng tham số (có biến$t$) và dạng chính tắc (biểu thức$\frac{x-x_1}{a}$...).
• Với đường thẳng trong$Oxy$, chỉ cần lập bằng hai toạ độ.
• Luôn xác định rõ điểm đầu, điểm cuối khi tính vectơ chỉ phương.