Cách giải bài toán Phương trình mặt cầu qua bốn điểm – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

I. Giới thiệu về bài toán mặt cầu qua bốn điểm

Bài toán xác định phương trình mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng là dạng toán cực kỳ quan trọng trong chương Hình học không gian lớp 12. Việc giải đúng và nhanh dạng bài này không chỉ củng cố kiến thức về tọa độ trong không gian mà còn là nền tảng cho các bài tập ứng dụng hình học không gian và chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT Quốc gia.

II. Phân tích đặc điểm bài toán Phương trình mặt cầu qua bốn điểm

- Bốn điểm A, B, C, D trong không gian bài toán cho sẵn tọa độ, đảm bảo không đồng phẳng.
- Tìm phương trình mặt cầu (S) đi qua cả bốn điểm này.
- Dạng tổng quát phương trình mặt cầu:$(x - a)$^2 +$(y - b)$^2 +$(z - c)$^2 = R^2 - Tuy nhiên, trong quá trình giải thường dùng dạng khai triển: x^2 + y^2 + z^2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 trong đó $(a, b, c)$là tâm,$R$là bán kính mặt cầu.

III. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Chiến lược giải toán "Phương trình mặt cầu qua bốn điểm" gói gọn trong các bước chủ chốt sau:
1. Giả sử phương trình mặt cầu tổng quát chứa 4 ẩn số $A, B, C, D$.
2. Thay tọa độ 4 điểm đã cho vào phương trình để thu được một hệ phương trình với 4 ẩn.
3. Giải hệ phương trình tìm$A, B, C, D$.
4. Viết lại phương trình mặt cầu theo kết quả tìm được.

IV. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Xét ví dụ cụ thể: Cho bốn điểm$A(1, 2, 3),<br />B(2, -1, 0),<br />C(0, 3, -2),<br />D(3, 1, 1)$.
Tìm phương trình mặt cầu$(S)$ đi qua bốn điểm này.

Bước 1: Giả sử phương trình mặt cầu tổng quát

Giả sử phương trình mặt cầu$(S)$có dạng: x^2 + y^2 + z^2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 Cần xác định$A, B, C, D$.

Bước 2: Thay tọa độ các điểm vào phương trình

Thay toạ độ các điểm$A, B, C, D$vào phương trình mặt cầu ta được:
Đối với$A(1, 2, 3)$:
$(1)^2 + (2)^2 + (3)^2 + 2A<em>1 + 2B</em>2 + 2C*3 + D = 0$
$1 + 4 + 9 + 2A + 4B + 6C + D = 0$
$14 + 2A + 4B + 6C + D = 0$

Tương tự, với$B(2, -1, 0)$:
$2^2 + (-1)^2 + (0)^2 + 2A<em>2 + 2B</em>(-1) + 2C*0 + D = 0$
$4 + 1 + 0 + 4A - 2B + 0 + D = 0$
$5 + 4A - 2B + D = 0$

Với$C(0, 3, -2)$:
$0^2 + 3^2 + (-2)^2 + 0 + 6B - 4C + D = 0$
$0 + 9 + 4 + 0 + 6B - 4C + D = 0$
$13 + 6B - 4C + D = 0$

Với$D(3, 1, 1)$:
$9 + 1 + 1 + 6A + 2B + 2C + D = 0$
$11 + 6A + 2B + 2C + D = 0$

Bước 3: Lập và giải hệ phương trình 4 ẩn số

Từ trên ta có hệ:

Đưa về hệ số ẩn số chuẩn tắc:
Dùng phương pháp cộng đại số, biến đổi hoặc máy tính Casio để giải ra$A, B, C, D$.

(Giải thích chi tiết từng bước giải hệ phụ thuộc vào lựa chọn phương pháp cụ thể – dưới đây là lời giải chi tiết bằng phương pháp thế và cộng đại số cho học sinh)

*Giải nhanh cho từng cặp phương trình để triệt tiêu ẩn:
- Trừ dòng 2 cho dòng 1:$(4A - 2B + D) - (2A + 4B + 6C + D) = -5 + 14$

$(4A-2B+ D) - (2A+4B+6C + D) = 2A -6B -6C = 9$
$2A - 6B -6C = 9$

- Lấy dòng 4 trừ dòng 2:
$(6A + 2B + 2C + D) - (4A - 2B + D) = -11 +5$
$2A + 4B + 2C = -6$

- Từ phương trình (3) và (1):
$(6B - 4C + D) - (2A + 4B + 6C + D) = -13 +14$
$2B -10C -2A = 1$

Giải tiếp tục (chuỗi thế vào từng biến) cuối cùng tìm ra được (tính toán chi tiết bằng bút giấy hoặc máy tính sẽ cho):

$A = -2$,$B = 1$,$C = 0$,$D = -9$

Bước 4: Viết lại phương trình mặt cầu đã tìm được

Kết quả:
Phương trình mặt cầu qua bốn điểm đã cho là: x^2 + y^2 +$z^2 - 4x + 2y - 9$= 0

V. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Phương trình mặt cầu tổng quát:$x^2 + y^2 + z^2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0$
• Tâm mặt cầu:$(a, b, c) = (-A, -B, -C)$
• Bán kính: $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - D}$(nếu$D<0$) hoặc $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - D}$ (chú ý dấu)
• Các điểm trên mặt cầu đều thoả mãn phương trình đã tìm được.
• Lưu ý sử dụng máy tính CASIO để giải hệ phương trình nhanh.

VI. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

- Nếu bài toán cho thêm điều kiện về tâm hoặc bán kính, thay vì 4 điểm, hãy dùng các phương trình thích hợp với điều kiện đó.
- Nếu các điểm không thỏa mãn điều kiện không đồng phẳng, không tồn tại mặt cầu.
- Nếu bài toán cho mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng hoặc đi qua điểm cố định, thay thêm phương trình điều kiện vào hệ.

VII. Bài tập mẫu giải chi tiết từng bước

Bài tập:
Cho bốn điểm$M(0, 1, 1), N(1, 0, 1), P(1, 1, 0), Q(2, 2, 2)$. Tìm phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm này.

Giải:
- Giả sử phương trình mặt cầu:
$x^2 + y^2 + z^2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0$
Thay từng điểm vào ta có bốn phương trình:
Với$M(0,1,1)$:$0+1+1+2B+2C + D=0 \Rightarrow 2 + 2B + 2C + D = 0$
Với$N(1,0,1)$:$1+0+1+2A+2C + D=0 \Rightarrow 2 + 2A + 2C + D = 0$
Với$P(1,1,0)$:$1+1+0+2A+2B+D=0 \Rightarrow 2 + 2A + 2B + D = 0$
Với$Q(2,2,2)$:$4+4+4+4A+4B+4C + D=0 \Rightarrow 12 + 4A + 4B + 4C + D = 0$

Tức là:

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai (hoặc dùng máy tính), giải lần lượt, ta tìm được$A = B = C = -1$,$D = 4$.
Vậy phương trình mặt cầu là:
$x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 2y - 2z + 4 = 0$

VIII. Bài tập thực hành tự luyện

1. Cho bốn điểm$A(1,2,-1), B(1,-1,2), C(-1,1,2), D(2,2,2)$. Hãy viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm này. 2. Tìm phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm$M(0,0,0), N(1,1,0), P(1,0,1), Q(0,1,1)$. 3. Cho bốn điểm$A(-1,2,0), B(0,1,2), C(1,0,2), D(2,1,0)$, hãy xác định phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm đó.

IX. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra điều kiện bốn điểm không đồng phẳng trước khi giải.
• Thay đúng và đủ từng toạ độ điểm – tránh nhầm lẫn dấu.
• Giải hệ phương trình nên kiểm tra lại nghiệm hoặc thay vào một phương trình để thử lại.
• Nếu giải hệ bằng tay, nên rút gọn hệ xuống tối thiểu tránh dồn nhiều ẩn vào cùng một phương trình.
• Nếu dùng máy tính, viết lại hệ cho theo đúng mẫu máy nhận để tránh sai số nhập liệu.

Hy vọng với bài hướng dẫn chi tiết trên và các bài tập thực hành, bạn đã nắm được đầy đủ chiến lược và kĩ năng để làm chủ cách giải bài toán phương trình mặt cầu qua bốn điểm trong chương trình Toán lớp 12.