Cách giải bài toán So sánh độ phân tán bằng độ lệch chuẩn – Chiến lược toàn diện cho học sinh lớp 12
T
Tác giả
•
•7 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc
1. Giới thiệu về bài toán: So sánh độ phân tán bằng độ lệch chuẩn và tầm quan trọng
Trong chương trình Toán lớp 12, các bài toán về thống kê và đặc biệt là bài toán so sánh độ phân tán của các mẫu số liệu bằng độ lệch chuẩn xuất hiện khá nhiều trong đề kiểm tra, thi học kỳ và thi THPT Quốc gia. Việc hiểu và biết cách giải bài toán so sánh độ phân tán này giúp học sinh đánh giá mức độ "dao động" của các mẫu số liệu, nắm rõ bản chất của phương sai, độ lệch chuẩn và ứng dụng thực tế của chúng.
2. Đặc điểm của bài toán so sánh độ phân tán bằng độ lệch chuẩn
Đa phần, bài toán so sánh độ phân tán yêu cầu học sinh so sánh hai hoặc nhiều bảng số liệu (có thể dạng ghép nhóm hoặc không nhóm), sau đó tính và đối chiếu giá trị độ lệch chuẩn của từng bảng để đưa ra nhận xét về độ "phân tán" (tức sự lan rộng hay chặt chẽ của các số liệu) của từng mẫu.
- Dữ liệu có thể là bảng ghép nhóm (số liệu phân lớp), hoặc dãy số liệu rời rạc.
- Yêu cầu tính toán: Tính phương sai S2và độ lệch chuẩnS(hoặc ký hiệu khác như SD, σ, tuỳ đề bài).
- Có thêm biến thể nâng cao: Tính hệ số biến thiên để so sánh độ phân tán khi trung bình khác nhau nhiều.
3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận và giải bài toán
Để giải hiệu quả và chính xác các bài toán này, bạn thực hiện theo các bước cơ bản sau:
1. Đọc kỹ đề bài, xác định bảng/phân lớp số liệu cần so sánh.
2. Xác định công thức tính phương sai, độ lệch chuẩn phù hợp với từng loại số liệu (rời rạc/hay phân lớp ghép nhóm).
3. Tính giá trị trung bình cộng của các bảng số liệu.
4. Tính phương saiS2và độ lệch chuẩnS.
5. So sánh các giá trị độ lệch chuẩn để đưa ra kết luận bảng số liệu nào phân tán mạnh hay yếu.
4. Các bước giải chi tiết – Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai tập số liệu sau (là điểm kiểm tra Toán của hai lớp):
Lớp A: 6, 7, 7, 8, 9
Lớp B: 5, 7, 7, 9, 11
So sánh độ phân tán của hai lớp bằng độ lệch chuẩn.
Bước 1: Tính trung bình cộng
Lớp A:xA=56+7+7+8+9=537=7,4
Lớp B:xB=55+7+7+9+11=539=7,8
Bước 2: Tính phương saiS2
Công thức cho số liệu rời rạc:
S2=n1∑i=1n(xi−x)2
Lớp A:
(6−7,4)2=1,96
(7−7,4)2=0,16(2\la^ˋn)
(8−7,4)2=0,36
(9−7,4)2=2,56
Tổng:1,96+0,16+0,16+0,36+2,56=5,2
SA2=55,2=1,04
Tương tự, lớp B:
(5−7,8)2=7,84
(7−7,8)2=0,64(2\la^ˋn)
(9−7,8)2=1,44
(11−7,8)2=10,24
Tổng:7,84+0,64+0,64+1,44+10,24=20,8
SB2=520,8=4,16
Bước 3: Tính độ lệch chuẩnS
SA=1,04≈1,02
SB=4,16≈2,04
So sánh:SA<SBnên độ phân tán của lớp A nhỏ hơn lớp B.
5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ
- Trung bình cộng:
x=n1∑i=1nxi
- Phương sai:
S2=n1∑i=1n(xi−x)2
- Độ lệch chuẩn:
S=S2
- Đối với số liệu ghép nhóm:
Nếuknhóm, mỗi nhóm có giá trị đại diệnxivà tần số nithì:
x=n∑i=1knixi,S2=n∑i=1kni(xi−x)2
- Hệ số biến thiên (nâng cao):
CV=xS⋅100%
6. Các biến thể bài toán – Cách điều chỉnh chiến lược
- Đề bài cho bảng số liệu ghép nhóm: Áp dụng công thức cho số liệu ghép nhóm như trên.
- Trung bình cộng của hai bảng số liệu chênh lệch nhiều: So sánh thêm hệ số biến thiênCV.
- Dữ liệu lớn, cần sử dụng máy tính cầm tay để tính toán nhanh chóng, cẩn thận nhập số liệu.
7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết theo từng bước
Bài tập mẫu: Một trường tổ chức thực nghiệm trên hai loại giống lúa A và B và thu được số nhóm ruộng với năng suất như sau:
Giống A:
Năng suất (tạ/ha): 45, 50, 55; số nhóm ruộng: 5, 10, 5
Giống B:
Năng suất (tạ/ha): 40, 60; số nhóm ruộng: 8, 12
Hỏi: Loại giống nào có năng suất ổn định hơn (phân tán nhỏ hơn)?
Lời giải theo từng bước:
Bước 1: Tính trung bình cộng cho từng giống lúa.
Tổng số nhóm ruộng giống A:5+10+5=20. Tổng năng suất:45×5+50×10+55×5=225+500+275=1000.
xA=201000=50(tạ/ha)
Giống B:8+12=20, tổng năng suất:40×8+60×12=320+720=1040
xB=201040=52(tạ/ha)
Bước 2: Tính phương sai từng giống lúa.
Giống A:SA2=205×(45−50)2+10×(50−50)2+5×(55−50)2
5×(45−50)2=5×25=125
10×0=0,5×(55−50)2=5×25=125
SA2=20125+0+125=20250=12,5
Tương tự, giống B:
8×(40−52)2=8×144=1152
12×(60−52)2=12×64=768
SB2=201152+768=201920=96
Bước 3: Tính độ lệch chuẩn của từng giống lúa
SA=12,5≈3,54
SB=96≈9,8
Kết luận: Giống A có năng suất ổn định hơn giống B vì SA<SB.
8. Bài tập thực hành tự luyện
Bài 1: Cho bảng số liệu điểm kiểm tra của hai lớp như sau: Lớp C: 6, 8, 8, 9, 9, 9, 10 Lớp D: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 Hãy tính độ lệch chuẩn và so sánh độ phân tán của hai lớp.
Bài 2: Dữ liệu nhóm: Lớp E: Điểm (4, 6, 8), số học sinh (3, 10, 7) Lớp F: Điểm (5, 7, 11), số học sinh (4, 12, 4) Tính độ lệch chuẩn từng lớp và cho biết lớp nào có độ phân tán điểm số thấp hơn.
9. Mẹo, lưu ý và các lỗi thường gặp
- Luôn xác định đúng công thức tính theo dạng bảng số liệu rời rạc hay ghép nhóm.
- Khi trung bình cộng của hai mẫu khác nhau nhiều, nên so sánh thêm hệ số biến thiên (CV) chứ không chỉ so độ lệch chuẩn tuyệt đối.
- Chú ý nhập đúng số liệu vào máy tính, tránh bỏ sót nhóm hoặc nhập sai tần số.
- Độ lệch chuẩn không thể âm, nếu ra âm là bị nhầm dấu hoặc tính toán sai.
- Khi hai bảng số liệu có độ lệch chuẩn gần nhau, hãy kiểm tra lại phép tính.
- Đối với số liệu nhiều nhóm, nên dùng bảng phụ để tổ chức tính toán rõ ràng.
Đăng ký danh sách email của chúng tôi và nhận những mẹo độc quyền, tin tức và ưu đãi đặc biệt được gửi thẳng đến hộp thư đến của bạn.
Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".
Theo dõi chúng tôi tại