Chiến lược sử dụng sơ đồ cây để tính xác suất – Hướng dẫn toàn diện cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về loại bài toán sử dụng sơ đồ cây để tính xác suất

Bài toán sử dụng sơ đồ cây để tính xác suất là một trong những dạng bài trọng tâm trong chương Xác suất và Thống kê của chương trình Toán lớp 12. Sơ đồ cây là phương pháp trực quan giúp học sinh phân tích các khả năng xảy ra của các biến cố liên tiếp, xác định chính xác kết quả cuối cùng cần tìm. Kỹ thuật này cực kỳ quan trọng trong các bài toán xác suất có nhiều bước, nhiều giai đoạn hoặc xác suất phụ thuộc, chẳng hạn như xác suất toàn phần, xác suất có điều kiện và công thức Bayes.

2. Đặc điểm của dạng bài toán sử dụng sơ đồ cây

• Thường xuất hiện ở các bài toán về thử liên tiếp nhiều lần, các biến cố xảy ra tuần tự.
• Có nhiều kịch bản/phương án khác nhau, với xác suất mỗi nhánh có thể khác hoặc giống nhau.
• Phù hợp với các bài liên quan đến xác suất toàn phần và xác suất có điều kiện.
• Bài toán thường yêu cầu xác định xác suất của một biến cố tổng hợp – tức là từ nhiều chuỗi sự kiện nhỏ.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán sơ đồ cây

1. Hiểu kỹ đề bài: Xác định rõ các bước/chặng của quá trình, các sự kiện quan trọng.
2. Phân tích các trường hợp xảy ra ở mỗi bước – biểu diễn dạng nhánh của sơ đồ cây.
3. Gắn xác suất vào các nhánh và lưu ý xác suất có điều kiện tại mỗi bước.
4. Tính xác suất cho mỗi “nhánh cuối” rồi cộng hoặc nhân các xác suất tùy theo yêu cầu đề bài.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa: Một hộp có 3 bi đỏ và 2 bi xanh. Rút lần lượt 2 bi (không hoàn lại). Tính xác suất để 2 bi rút ra đều là bi đỏ.

1. Xác định các bước rút và các khả năng: Rút lần 1 (có thể ra bi đỏ hoặc bi xanh), rút lần 2 (tùy vào kết quả lần 1 mà khả năng thay đổi).
2. Vẽ sơ đồ cây cho từng bước:
   - Bước 1: Lấy 1 bi: Đỏ ($D$), Xanh ($X$).
   - Bước 2: Sau khi rút 1 bi, xác suất các bi còn lại thay đổi.
   + Nếu lần 1 lấy đỏ: còn 2 đỏ, 2 xanh
   + Nếu lần 1 lấy xanh: còn 3 đỏ, 1 xanh
3. Tính xác suất các nhánh:
   - Xác suất lấy bi đỏ lần đầu:$P(D_1) = \frac{3}{5}$
   - Xác suất lấy đỏ lần hai sau khi đã rút đỏ:$P(D_2|D_1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
   => Xác suất lấy 2 bi đỏ liên tiếp:$P = P(D_1) \times P(D_2|D_1) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$

Sau khi đã có sơ đồ, tổng xác suất các trường hợp phù hợp đề bài là kết quả cuối cùng.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức xác suất độc lập:
  $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$khi$A$và $B$ độc lập.
• Công thức xác suất có điều kiện:
  $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$
• Công thức xác suất toàn phần:
  $P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) +... + P(A_n)P(B|A_n)$
• Công thức Bayes:
  $P(A_k|B) = \frac{P(A_k)P(B|A_k)}{\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)}$

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Các bước rút có hoàn lại: xác suất mỗi nhánh không đổi giữa các lần.
• Các bước rút không hoàn lại: số phần tử và xác suất mỗi nhánh thay đổi qua từng bước.
• Bài toán phân ra nhiều hơn 2 nhánh cho mỗi bước (ví dụ: nhiều màu bi).
• Phối hợp nhiều sơ đồ cây nhỏ, hoặc sử dụng công thức xác suất toàn phần hoặc Bayes.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết từng bước

Bài tập: Một hộp có 2 bi đỏ và 3 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 2 bi liên tiếp không hoàn lại. Tính xác suất để lấy được 1 bi đỏ và 1 bi xanh (không quan tâm thứ tự).

1. Bước 1: Xác định các khả năng:
   + Lần 1 đỏ - lần 2 xanh
   + Lần 1 xanh - lần 2 đỏ
2. Bước 2: Vẽ sơ đồ cây:
   - Lần 1: Rút đỏ (2/5), rút xanh (3/5)
   - Nếu lần 1 đỏ: còn 1 đỏ, 3 xanh (lần 2 xanh 3/4)
   - Nếu lần 1 xanh: còn 2 đỏ, 2 xanh (lần 2 đỏ 2/4=1/2)
3. Bước 3: Tính xác suất từng trường hợp:
   - Lần 1 đỏ, lần 2 xanh:
   $\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$
   - Lần 1 xanh, lần 2 đỏ:
   $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$
4. Bước 4: Tổng xác suất:
   $P = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Chú ý: Nếu đề yêu cầu đúng thứ tự, chỉ lấy từng nhánh một. Nếu yêu cầu "không quan tâm thứ tự", phải cộng các nhánh phù hợp.

8. Bài tập thực hành

1. Một túi có 4 bi trắng và 2 bi đen. Lấy lần lượt 2 bi không hoàn lại. Tính xác suất để rút được 2 bi cùng màu.
2. Một hộp có 2 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh, 1 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên liên tiếp không hoàn lại. Tính xác suất cả hai viên cùng màu.
3. Một lớp có 60% học sinh nam, 40% học sinh nữ. Kiểm tra xác suất để người được chọn ngẫu nhiên là nam, sau đó chọn tiếp một học sinh nữa (không hoàn lại) là nữ.

Cố gắng vẽ sơ đồ cây, gán xác suất và trình bày từng bước để rèn luyện kỹ năng giải bài toán sử dụng sơ đồ cây.

9. Mẹo và lưu ý khi sử dụng sơ đồ cây để tính xác suất

• Luôn vẽ sơ đồ cây thật rõ ràng, gọn gàng, nhất là với nhiều bước/phương án.
• Gắn chính xác xác suất tại từng nhánh, đừng nhầm giữa các nhánh khác nhau.
• Chú ý cập nhật lại số lượng phần tử sau mỗi bước rút (nếu không hoàn lại).
• Đọc kỹ yêu cầu đề bài: có quan tâm thứ tự không? Cộng các trường hợp phù hợp, tránh cộng trùng lặp.
• Áp dụng công thức xác suất toàn phần và Bayes đúng ngữ cảnh trong sơ đồ cây.
• Luôn kiểm tra tổng các xác suất của tất cả nhánh cuối cùng phải bằng 1 (nếu đã xét hết trường hợp).