1. Giới thiệu về thống kê mô tả và tầm quan trọng của nó

Thống kê mô tả là tập hợp các phương pháp tóm tắt và trình bày dữ liệu dưới dạng số liệu và đồ thị để giúp người học nhanh chóng hiểu bản chất của dữ liệu. Trong chương trình Toán lớp 12, thống kê mô tả đóng vai trò quan trọng: cách giải bài toán Thống kê mô tả là kỹ năng nền tảng giúp phân tích kết quả thực nghiệm, đánh giá xu hướng và ra quyết định.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán thống kê mô tả

Một bài toán thống kê mô tả thường bao gồm các yêu cầu sau:

- Tính các chỉ số trung tâm: trung bình cộng, trung vị, mốt.

- Tính độ lệch: phương sai, độ lệch chuẩn, khoảng tứ phân vị.

- Trình bày dữ liệu: bảng tần số, biểu đồ cột, biểu đồ hình tròn, hộp – ria.

Đặc điểm chung: dữ liệu thô cho trước, thường dưới dạng bảng hoặc tập hợp số liệu rời rạc. Muốn giải nhanh, học sinh cần nắm chắc định nghĩa và công thức, thành thạo kỹ thuật tổng hợp.

3. Chiến lược tổng thể khi tiếp cận bài toán

Bước đầu tiên luôn là đọc kỹ đề, xác định yêu cầu chính. Sau đó:

1. Xác định loại biến (dữ liệu định tính hay định lượng, rời rạc hay liên tục).

2. Tổ chức dữ liệu vào bảng tần số nếu cần.

3. Chọn chỉ số phù hợp để mô tả (trung tâm, độ lệch, phân vị).

4. Vẽ đồ thị minh họa giúp hiểu xu hướng nhanh hơn.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ: Cho dãy điểm kiểm tra Toán của 10 học sinh: 6, 8, 7, 9, 5, 10, 7, 8, 6, 9. Hãy tính các chỉ số trung tâm và độ lệch, vẽ biểu đồ cột.

Bước 1: Tổ chức bảng tần số.

Điểm xᵢ | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10

Tần số nᵢ | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 1

Tổng n = 10.

Bước 2: Tính trung bình cộng:

$\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = \frac{6+8+7+9+5+10+7+8+6+9}{10} = 7.5$

Bước 3: Tính trung vị:

Sắp xếp: 5,6,6,7,7,8,8,9,9,10 ⇒ trung vị là trung bình của giá trị thứ 5 và thứ 6:

$\mathrm{Med} = \frac{7+8}{2} = 7.5$

Bước 4: Tính phương sai và độ lệch chuẩn:

$\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2 = \frac{(6-7.5)^2+…+(9-7.5)^2}{10} = 1.65$

$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{1.65} \approx 1.28$

Bước 5: Vẽ biểu đồ cột minh họa tần số của từng điểm.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Trung bình cộng: $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$

- Trung vị: giá trị giữa dãy đã sắp xếp.

- Mốt: giá trị xuất hiện nhiều nhất.

- Phương sai: $\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2$

- Độ lệch chuẩn: $\sigma=\sqrt{\sigma^2}$

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

- Dữ liệu nhóm (liên tục): tính đại lượng tại trung điểm lớp.

- Tính phân vị: ví dụ $Q_1,Q_3$.

- So sánh hai tập dữ liệu: lời giải mở rộng thêm phép so sánh trung bình và độ lệch.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Cho số liệu về chiều cao (cm) của 8 bạn: 150, 155, 160, 162, 158, 159, 161, 157. Tính và phân tích.

Lời giải tóm tắt:

(1) Trung bình cộng:$\overline{x}=\frac{1}{8}(150+…+157)=158.5$

(2) Trung vị:$(158+159)/2=158.5$.

(3) Phương sai: tính nhanh bằng bảng hoặc máy tính.

8. Bài tập thực hành

1. Cho 12 số liệu về điểm kiểm tra. Tính trung bình, trung vị, phương sai, vẽ biểu đồ hộp–ria.

2. Cho bảng tần số liên tục, tính các chỉ số và nhận xét phân phối.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

- Luôn sắp xếp dữ liệu trước khi tính trung vị và mốt.

- Phân biệt rõ dữ liệu rời rạc và liên tục.

- Kiểm tra lại tổng tần số trước khi tính công thức.

- Sử dụng máy tính bỏ túi đúng chức năng để giảm sai số.