Cách giải bài toán Tích của một số với một vectơ lớp 12: Hướng dẫn chiến lược từ cơ bản đến thành thạo

1. Giới thiệu về bài toán tích của một số với một vectơ và tầm quan trọng

Tích của một số với một vectơ là bài toán nền tảng trong chương trình Toán lớp 12, chương II về vectơ và các phép toán trong không gian. Việc thành thạo cách giải bài toán tích của một số với một vectơ không chỉ giúp các em hiểu rõ bản chất vectơ mà còn là bước đệm cho các bài toán hình học không gian, vật lý (lực, vận tốc...) và nhiều ứng dụng toán học khác.

2. Đặc điểm của bài toán tích của một số với một vectơ

• Cho trước một vectơ $\vec{a}$(thường qua toạ độ hoặc hình học) và một số thực$k$, yêu cầu tìm$k\vec{a}$.
• Tìm các yếu tố liên quan: độ dài, hướng, toạ độ kết quả của vectơ sau khi nhân với số k.
• Chủ yếu xuất hiện ở các bài toán về so sánh, cộng trừ vectơ, xét song song, cùng phương, ngược hướng...

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải quyết tốt dạng toán này, bạn nên tuân thủ một quy trình đơn giản nhưng cực kỳ hiệu quả:

• Xác định toạ độ hoặc biểu diễn hình học của vectơ ban đầu$\vec{a}$.
• Xác định hệ số $k$và tính$k\vec{a}$theo công thức.
• Kết luận kết quả (toạ độ, độ dài, hướng) và kiểm tra lại đáp án.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Giả sử cho vectơ $\vec{a} = (x, y, z)$, số thực$k$. Ta cần tính$k\vec{a}$.

1. Viết toạ độ hoặc xác định điểm đầu, điểm cuối của$\vec{a}$.
2. Nhân từng thành phần của$\vec{a}$với$k$để có$k\vec{a} = (k x, k y, k z)$.
3. Kết luận và trả lời các yêu cầu tiếp theo (độ dài, hướng, nhận xét về phương, hướng, quan hệ với các vectơ khác...).

Ví dụ 1: Cho$\vec{a} = (2, -1, 3)$, hãy tính$-3\vec{a}$.

Ta có:

$<br />-3\vec{a} = -3 \cdot (2, -1, 3) = (-6, 3, -9)<br />$
Vậy$-3\vec{a} = (-6, 3, -9)$.

Có thể xác định thêm: Độ dài$|-3|$lần độ dài của$\vec{a}$, hướng ngược lại vì $-3 < 0$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Nếu$\vec{a} = (x, y, z)$thì $k\vec{a} = (k x, k y, k z)$.
• Độ dài:$|k \vec{a}| = |k| \cdot |cvec{a}|$.
• Nếu$k>0$,$k\vec{a}$cùng hướng với$\vec{a}$; nếu$k<0$,$k\vec{a}$ngược hướng.
• Nếu$k=0$,$k\vec{a}$là vectơ không.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Tìm$k$để$k\vec{a} = \vec{b}$: So sánh từng thành phần$k x = x'$,$k y = y'$,$k z = z'$. Lưu ý kiểm tra điều kiện chia hết.
• Bài toán kiểm tra cùng phương/cùng hướng/ngược hướng: Xét tỉ lệ thành phần hoặc dựa vào công thức tích với số.
• Tìm độ dài chỉ dựa vào biểu thức tích số với vectơ.
• Áp dụng trong hình học không gian: Vectơ chỉ phương, véc tơ pháp tuyến...

7. Bài tập mẫu với lời giải từng bước

Bài 1: Cho$\vec{u} = (4, -2, 1)$, hãy tính$2\vec{u}$và độ dài của vectơ $2\vec{u}$.

Giải:

1. Nhân từng thành phần:$2\vec{u} = 2 \cdot (4, -2, 1) = (8, -4, 2)$.
2. Độ dài|2\vec{u}| = 2 cleft| \vec{u} \right|.
3. Tính $|\vec{u}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{16+4+1} = \sqrt{21}$.
4. Vậy $|2\vec{u}| = 2\sqrt{21}$.

Kết luận: $2\vec{u} = (8, -4, 2)$, độ dài là $2\sqrt{21}$.

Bài 2: Tìm$k$biết$k\vec{a} = \vec{b}$với$\vec{a} = (1, -3, 2)$,$\vec{b} = (2, -6, 4)$.

Giải:

1. So sánh từng thành phần:$k \cdot 1 = 2 \Rightarrow k = 2$.
2. Kiểm tra lại:$k \cdot (-3) = -6 \Rightarrow k = 2$;$k \cdot 2 = 4 \Rightarrow k=2$.
3. Mọi thành phần thỏa mãn cùng$k=2$.

Vậy$k = 2$.

8. Bài tập thực hành tự luyện

• 1. Cho$\vec{v} = (3, 1, -5)$. Tính$-2\vec{v}$và xác định độ dài.
• 2. Tìm$k$để$k\vec{d} = \vec{e}$với$\vec{d} = (2, 4, -2)$,$\vec{e} = (-4, -8, 4)$.
• 3. Cho$\vec{u}$có độ dài$5$. Tính độ dài của$-3\vec{u}$.
• 4. Xét các vectơ $\vec{m} = (1, 2, -1)$,$\vec{n} = (-2, -4, 2)$. Hai vectơ này có cùng phương không? Vì sao?

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Cẩn thận dấu âm khi nhân số âm với vectơ dễ nhầm hướng.
• Độ dài luôn là số dương, dù $k$dương hay âm ($|k\vec{a}|=|k| \cdot |\vec{a}|$).
• Kiểm tra đều tất cả thành phần khi xác định$k$với bài toán$k\vec{a} = \vec{b}$.
• Nếu mọi thành phần của$\vec{b}$cùng tỷ lệ với$\vec{a}$thì hai vectơ cùng phương.
• Nếu nhận thấy biểu thức cho ra vectơ không thì $k$cần kiểm tra kỹ điều kiện.