Hướng dẫn chiến lược giải chi tiết bài toán: Tiệm cận đứng của hàm phân thức (Toán 12)

- Hàm phân thức thường được cho bởi dạng tổng quát:

$y = \frac{P(x)}{Q(x)}$
trong đó $P(x)$,$Q(x)$là các đa thức và $Q(x) \not \equiv 0$.

- Tiệm cận đứng xuất hiện tại những điểm$x = a$mà $Q(a) = 0$nhưng$P(a) \neq 0$(giá trị làm mẫu bằng 0 nhưng tử không bằng 0).

- Nếu$P(a) = 0$và $Q(a) = 0$, cần làm rõ bậc phân thức (chia tiêu gọn và xem xét tiếp).

- Tiệm cận đứng là đường thẳng có phương trình$x = a$.

- Bước 1: Phân tích dạng hàm phân thức.

- Bước 2: Tìm nghiệm của mẫu số ($Q(x) = 0$) để xác định các điểm cần xét.

- Bước 3: Với mỗi nghiệm$x = a$của$Q(x) = 0$, kiểm tra$P(a) \neq 0$.

- Bước 4: Nếu$P(a) = 0$, tiến hành rút gọn và xem xét lại (loại bỏ các “lỗ hổng” đồ thị).

- Bước 5: Kết luận các đường tiệm cận đứng là các đường thẳng$x = a$thu được sau khi loại các trường hợp "$0/0$" giản lược.

Bước 1: Xác định dạng hàm => Phân thức hữu tỉ $\frac{P(x)}{Q(x)}$.

Bước 2: Xét mẫu số:$x^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$hoặc$x = -2$.

Bước 3: Kiểm tra tử số:$2x+1 \neq 0$khi$x = 2$hoặc$x = -2$(kết quả lần lượt là 5 và -3 khác 0).

Bước 4: Kết luận: Hàm có hai tiệm cận đứng$x = 2$và $x = -2$.

Bước 1: Phân tích: Mẫu số $x^2-x-2 = (x-2)(x+1) = 0 \Leftrightarrow x=2; x=-1$.

Bước 2: Tử số $x^2-1 = (x-1)(x+1)$.

Bước 3: Với$x = 2$, tử số $=(2-1)(2+1)=3 \neq 0$. Với$x = -1$, tử số $=(-1-1)(-1+1)=0$. Trường hợp$x = -1$: mẫu và tử cùng bằng 0, cần phân tích!

Bước 4: Rút gọn phân thức:$\frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+1)} = \frac{x-1}{x-2}$với$x \neq -1$. Do đó ở $x = 2$,$\frac{x-1}{x-2}$không xác định (tử $=1$, mẫu$=0$), vậy$x=2$là tiệm cận đứng.

- Hàm phân thức$y = \frac{P(x)}{Q(x)}$có tiệm cận đứng$x = a$nếu$Q(a) = 0$và $P(a) \neq 0$.

- Nếu cả $P(a) = 0$và $Q(a) = 0$, chia tiêu để xét tiếp, tránh nhầm lỗ hổng với tiệm cận đứng.

- Nếu trong biểu thức không rút gọn mẫu số, tiệm cận đứng có thể bị bỏ sót.

- Trường hợp nhiều nghiệm bội:$Q(x) = (x-a)^k \cdot G(x)$. Dù $k \geq 2$,$x=a$vẫn là tiệm cận đứng.

- Hàm phân thức đã rút gọn: Cẩn thận kiểm tra các “lỗ hổng” sau rút gọn, thường gặp khi bài cho phân thức chưa tối giản.

- Hàm nhiều ẩn (tham số): Phân tích mẫu và tử với từng giá trị tham số để xác định vị trí tiệm cận đứng phụ thuộc tham số.

Bước 1: Phân tích mẫu$x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$. Nghiệm:$x=2; x=3$.

Bước 2: Phân tích tử $x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)$. Tại$x=2$, tử số =$2+3=5$;$2-2=0$; tức tử số $=0$. Tại$x=3$, tử số $= 3+3=6$;$3-2=1$; tức tử số $=6$.

Bước 3: Xét$x=2$: cả tử và mẫu cùng bằng 0. Rút gọn:$\frac{(x+3)(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \frac{x+3}{x-3} \ (x \neq 2)$. Vậy$x=2$chỉ là lỗ hổng, KHÔNG là tiệm cận đứng.

Bước 4:$x=3:Q(3)=0; P(3)=6$nên$x=3$là tiệm cận đứng DUY NHẤT của hàm số.

a)$y = \frac{3x-7}{x^2 - 9}$

b)$y = \frac{x^2 - 4}{(x-2)^2}$

c)$y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + x + 1}$

d)$y = \frac{2x + 5}{x^3 - x}$

e)$y = \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1}$

- Luôn phân tích nghiệm của mẫu và kiểm tra tử tại các nghiệm ấy trước khi kết luận.

- Sau rút gọn, chú ý không xác định tại các giá trị làm cả tử và mẫu bằng 0 (lỗ hổng, không phải tiệm cận đứng).

- Nếu bài có tham số, hãy chú ý bội nghiệm khi thay giá trị tham số cụ thể.

- Nên vẽ sơ lược đồ thị để trực quan hóa bài toán, đối chiếu kết quả với dạng đồ thị.

- Đừng quên kiểm tra lại sự tồn tại của tiệm cận đứng ở mỗi nghiệm vừa tìm được.