Hướng Dẫn Chiến Lược Giải Bài Toán Tìm GTLN - GTNN trên Khoảng Mở Lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán tìm GTLN - GTNN trên khoảng mở

Bài toán "Tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên khoảng mở" là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 12. Nó không chỉ chiếm tỷ trọng lớn trong các kỳ thi THPT mà còn giúp rèn luyện kỹ năng vận dụng đạo hàm vào thực tế. Hiểu rõ chiến lược giải bài toán này sẽ giúp học sinh tự tin xử lý các bài toán khó liên quan đến hàm số và nghiên cứu sâu hơn về giải tích.

2. Đặc điểm của bài toán tìm GTLN - GTNN trên khoảng mở

• Khác với khoảng đóng$[a, b]$, khoảng mở $(a, b)$không chứa hai điểm biên$a$và $b$.
• Không thể so sánh giá trị hàm số tại$a$hoặc$b$; bài toán chỉ xét các điểm bên trong khoảng hoặc giới hạn khi$x$tiến tới$a, b$.
• Hàm số cần xác định và liên tục trên$(a, b)$hoặc trên miền xác định.

Kết quả có thể thuộc hai trường hợp:

• GTLN hoặc GTNN đạt được tại điểm bên trong khoảng (nghiệm của$f'(x)=0$).
• GTLN hoặc GTNN không tồn tại (hay là chỉ có giới hạn khi$x \to a^+$hoặc$x \to b^-$).

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

1. Bước 1: Xác định miền xác định và kiểm tra liên tục của hàm trên$(a, b)$.
2. Bước 2: Tìm các điểm cực trị trong khoảng, tức là giải phương trình$f'(x)=0$và loại các nghiệm không nằm trong$(a, b)$.
3. Bước 3: Xét các giới hạn của$f(x)$khi$x \to a^+$và $x \to b^-$.
4. Bước 4: So sánh giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các giới hạn (nếu hữu hạn) để kết luận GTLN, GTNN hoặc khẳng định không tồn tại.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $f(x) = \frac{1}{x}$trên khoảng$(1; 3)$.

1. Bước 1: Miền xác định của hàm$f(x)$là $x > 0$, hàm xác định và liên tục trên$(1;3)$.
2. Bước 2: Tính đạo hàm$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.
3. Giải$f'(x) = 0 \Rightarrow -\frac{1}{x^2}=0$không có nghiệm. Vậy không có điểm cực trị trong$(1;3)$.
4. Bước 3: Xét giới hạn khi$x \to 1^+$và $x \to 3^-:$
   
   -$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x} = 1$
   -$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \frac{1}{3}$
5. Bước 4: So sánh các giá trị:
   
   - Giá trị nhỏ nhất gần$x=3$là $\frac{1}{3}$(tiệm cận khi$x \to 3^-$), không đạt tại một điểm cụ thể.
   - Giá trị lớn nhất gần$x=1$là $1$(tiệm cận khi$x \to 1^+$), cũng không đạt tại một điểm cụ thể.
   
   Kết luận:
   
   - GTLN của$f(x)$trên$(1;3)$là $1$(không đạt).
   - GTNN của$f(x)$trên$(1;3)$là $\frac{1}{3}$(không đạt).

Chú ý: Nếu hàm số có nghiệm của$f'(x)=0$thuộc$(a;b)$, bạn cần tính$f(x)$tại các giá trị đó và so sánh thêm với các giới hạn.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Đạo hàm, nghiệm của phương trình$f'(x)=0$cho ta các điểm khả năng đạt cực trị trong$(a, b)$.
• Các giới hạn:
  -$\lim_{x \to a^+} f(x)$
  -$\lim_{x \to b^-} f(x)$
• Nếu$f(x)$liên tục và có giá trị $L$khi$x\to a^+, b^-$thì $L$có thể là GTLN hoặc GTNN nhưng không đạt tại một điểm cụ thể.
• Nếu hàm số không bị chặn trên$(a, b)$thì kết luận không tồn tại GTLN hoặc GTNN.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể thường gặp:

• Khoảng nửa mở:$[a, b)$hoặc$(a, b]$. Lúc này, giá trị hàm số sẽ được xét thêm tại điểm$a$hoặc$b$(nếu thuộc miền xác định).
• Hàm số xác định không liên tục trên$(a, b)$: Phải xét kỹ các điểm loại trừ ra khỏi khoảng, ví dụ loại nghiệm mà hàm số không xác định.
• Các hàm hợp, hàm ẩn: Cần kiểm tra thêm điều kiện xác định khi tìm nghiệm của$f'(x)=0$.

Điều chỉnh chiến lược dựa vào miền xác định và tính chất của hàm số trong từng trường hợp cụ thể.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập mẫu: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $f(x) = 2x - x^2$trên khoảng$(0; 2)$.

1. Miền xác định: Hàm xác định và liên tục trên$(0;2)$.
2. Tính đạo hàm:$f'(x) = 2 - 2x$.
3. Giải$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 1$.
4. Vì $x = 1$thuộc$(0;2)$nên tính$f(1) = 2 \times 1 - 1^2 = 1$.
5. Xét giới hạn:
   -$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$.
   -$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2 \times 2 - (2)^2 = 0$.
6. So sánh các giá trị:
   -$f(1) = 1$.
   - Các giới hạn đều là $0$.
   => GTLN đạt tại$x = 1$, giá trị bằng$1$.
   => GTNN là $0$(không đạt tại một điểm cụ thể, mà là giới hạn tại$x \to 0^+, x \to 2^-$).

8. Bài tập thực hành

Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của$f(x) = x + \frac{1}{x}$trên$(1;4)$.

Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của$f(x) = \frac{2}{x+1}$trên$(0;2)$.

Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của $f(x) = \sin x$trên$(0;\pi)$.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra kỹ miền xác định. Nhiều bài toán có hàm không xác định tại biên hoặc trong khoảng.
• Không xét giá trị hàm tại$a$hoặc$b$ đối với khoảng mở, chỉ xét giới hạn.
• Nghiệm của$f'(x)=0$phải thuộc$(a, b)$mới được xét giá trị.
• Chú ý trường hợp hàm số không bị chặn: cần xét các giới hạn vô cùng khi$x$tiến đến biên.
• Khi so sánh các giá trị, hãy viết rõ các bước để tránh sai sót.