Blog

Lớp 12

Cách giải bài toán tìm tâm và bán kính từ phương trình mặt cầu: Chiến lược và ví dụ minh họa

T
Tác giả
•
•7 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

Cách giải bài toán tìm tâm và bán kính từ phương trình mặt cầu: Chiến lược và ví dụ minh họa

Bài viết này cung cấp một hướng dẫn chiến lược chi tiết về cách giải bài toán tìm tâm và bán kính từ phương trình mặt cầu dành cho học sinh lớp 12. Qua đó, học sinh sẽ nắm vững phương pháp, công thức quan trọng và vận dụng linh hoạt trong các dạng bài tập khác nhau.

1. Giới thiệu về loại bài toán

Trong hình học không gian, phương trình tổng quát của mặt cầu cho bởi:x2+y2+z2+Dx+Ey+Fz+G=0x^2+y^2+z^2+Dx+Ey+Fz+G=0

Nhiệm vụ của bài toán là xác định tọa độ tâmM(a,b,c)M(a,b,c)và bán kínhRRtừ phương trình này. Đây là dạng toán cơ bản và quan trọng vì:

  • Giúp phát triển tư duy về chuyển vị và khai triển biểu thức.
  • Là nền tảng cho các vấn đề nâng cao về giao điểm, tiếp xúc, khoảng cách trong không gian.
  • Xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia và luyện thi Đại học.

    • 2. Phân tích đặc điểm bài toán

    Đặc điểm nhận dạng:

  • Phương trình chứa phầnx2+y2+z2x^2+y^2+z^2cùng các hạng tử bậc nhấtDx,Ey,FzDx, Ey, Fzvà hằng số GG.
  • Cần đưa về dạng chuẩn(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2qua phương pháp hoàn thành bình phương.
  • Tọa độ tâm là kết quả của hệ số bậc nhất sau khi chuẩn hóa.

    • Trong quá trình giải thường gặp các tình huống:

  • Phương trình đã ở dạng chuẩn sẵn.
  • Cần hoàn thành bình phương cho từng biến.
  • Phải xử lý thêm điều kiện để bán kính thực (không âm).

    • 3. Chiến lược tổng thể

    Để giải nhanh và chính xác, học sinh cần xác định rõ các bước chính:

  • Bước 1: Kiểm tra dạng phương trình và nhận dạng các hệ số D,E,F,GD,E,F,G.
  • Bước 2: Nhóm các hạng tử theo biến để hoàn thành bình phương.
  • Bước 3: Rút gọn và viết lại dưới dạng chuẩn(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.
  • Bước 4: Nhận kết quả igl(a,b,cigr)igl(a,b,cigr)và R=extđie^ˋukiệnigl(extphảiigl)igr.R=ext{điều kiện}igl(ext{phải}igl)igr.

    • Chiến lược này giúp hệ thống hóa quá trình giải và giảm thiểu sai sót.

    4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

    Chúng ta xét ví dụ cụ thể để hình dung rõ từng bước.

    Ví dụ 1

    Cho phương trình mặt cầu:x2+y2+z2−4x+6y−2z−3=0.x^2+y^2+z^2-4x+6y-2z-3=0.

    Yêu cầu: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu.

  • Bước 1: Nhận dạng hệ số:D=−4D=-4,E=6E=6,F=−2F=-2,G=−3G=-3.
  • Bước 2: Hoàn thành bình phương cho từng biến:


    • (x2−4x)+(y2+6y)+(z2−2z)−3=0(x^2-4x)+(y^2+6y)+(z^2-2z)-3=0

    Hoàn thành:


    x2−4x+4−4+<br/>y2+6y+9−9+<br/>z2−2z+1−1−3=0x^2-4x+4 -4 +<br /> y^2+6y+9 -9 +<br /> z^2-2z+1 -1 -3=0


    igl(x−2igr)2−4+igl(y+3igr)2−9+igl(z−1igr)2−1−3=0igl(x-2igr)^2 -4 +igl(y+3igr)^2 -9 +igl(z-1igr)^2 -1 -3=0


    igl(x−2igr)2+igl(y+3igr)2+igl(z−1igr)2=4+9+1+3=17igl(x-2igr)^2+igl(y+3igr)^2+igl(z-1igr)^2 =4+9+1+3=17

  • Kết luận: Tâm M(2,−3,1)M(2,-3,1), bán kính R=igl17igr.R=igl\sqrt{17}igr.

    • 5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

    • Phương trình tổng quát:

    x2+y2+z2+Dx+Ey+Fz+G=0o(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2.x^2+y^2+z^2+Dx+Ey+Fz+G=0o (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.

    • Công thức chuyển đổi hệ số:

    a=−D2, b=−E2, c=−F2, R=igl(D2+E2+F2−4Gigr)1/22.a=-\frac{D}{2},\,b=-\frac{E}{2},\,c=-\frac{F}{2},\,R=\frac{igl(D^2+E^2+F^2-4Gigr)^{1/2}}{2}.

    • Kỹ thuật hoàn thành bình phương:

  • Thêm và trừ cùng một số để biếnx2+Dxx^2+Dxthành(x−D2)2−(D2)2(x-\frac{D}{2})^2 -(\frac{D}{2})^2.
  • Tương tự với các biếny,zy,z.

    • 6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

    Ngoài dạng cơ bản, có các biến thể:

  • Phương trình đã cho dưới dạng(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2yêu cầu đọc trực tiếp.
  • Phương trình bị viết sai thứ tự biến:y2+z2+x2...y^2+z^2+x^2...chỉ cần sắp xếp lại.
  • Hệ phương trình kết hợp với mặt phẳng, đường thẳng để tìm giao điểm hoặc tiếp xúc.

    • Chiến lược cơ bản vẫn là hoàn thành bình phương, sau đó áp dụng điều kiện giao tiếp hoặc khoảng cách.

    7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

    Bài tập mẫu

    Cho phương trình:
    x2+y2+z2+2x−8y+6z+5=0.x^2+y^2+z^2+2x-8y+6z+5=0.

  • Nhận dạng hệ số:D=2,E=−8,F=6,G=5D=2, E=-8, F=6, G=5.
  • Hoàn thành bình phương:


    • (x2+2x+1)−1+(y2−8y+16)−16+(z2+6z+9)−9+5=0(x^2+2x+1)-1 + (y^2-8y+16)-16 + (z^2+6z+9)-9 +5=0


    (x+1)2+(y−4)2+(z+3)2=1+16+9−5=21(x+1)^2+(y-4)^2+(z+3)^2 =1+16+9-5=21

  • Kết luận: Tâm M(−1,4,−3)M(-1,4,-3), R=igl21igr.R=igl\sqrt{21}igr.

    • 8. Bài tập thực hành

  • 1.x2+y2+z2−6x−2y+4z+9=0x^2+y^2+z^2-6x-2y+4z+9=0
  • 2.x2+y2+z2+4x−8y−2z+7=0x^2+y^2+z^2+4x-8y-2z+7=0
  • 3. Chox2+y2+z2+Dx+Ey+Fz+G=0x^2+y^2+z^2+Dx+Ey+Fz+G=0sao cho tâmM(3,−2,1)M(3,-2,1)và R=5R=5. TìmD,E,F,GD,E,F,G.

    • 9. Mẹo và lưu ý

  • Luôn kiểm tra dấu của hệ số bậc nhất khi thay vào công thứca=−D2a=-\frac{D}{2}.
  • Sau khi hoàn thành bình phương, đếm tổng các hằng số thêm và bớt đúng để tínhR2R^2.
  • Nếu kết quả R2<0R^2<0, phương trình vô nghiệm (không là mặt cầu thực).
  • Thực hành nhiều dạng để tăng tốc độ nhận dạng và giải nhanh.

    • Kết luận

    Bằng cách nắm vững chiến lược hoàn thành bình phương và công thức chuyển đổi hệ số, học sinh có thể giải nhanh các bài toán tìm tâm và bán kính từ phương trình mặt cầu. Hãy luyện tập thêm với các biến thể để nâng cao kỹ năng và tự tin chinh phục các đề thi.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".