1. Giới thiệu về loại bài toán và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 12, dạng “Tìm tọa độ điểm khi biết hình học” xuất hiện ở nhiều bài toán liên quan đến hình học phẳng và hình học không gian. Việc nắm vững cách giải bài toán Tìm tọa độ điểm khi biết hình học giúp học sinh:

- Áp dụng linh hoạt kiến thức hình học và đại số để giải quyết bài toán.
- Chuẩn bị tốt cho các dạng bài trong đề thi THPT Quốc gia và Đại học.
- Rèn kỹ năng lập luận chặt chẽ, chính xác khi chuyển bài toán hình học sang hệ tọa độ.

2. Phân tích đặc điểm của dạng bài

Bài toán thường cho các điều kiện hình học (điểm, đường thẳng, đường tròn, tam giác, góc, độ dài, trung điểm, trọng tâm, trực tâm…) và yêu cầu tìm tọa độ của một hoặc nhiều điểm thỏa mãn điều kiện đó.

Đặc điểm chính:

• Phải chọn hệ trục tọa độ phù hợp để đơn giản hóa tính toán.
• Chuyển các điều kiện hình học thành hệ phương trình.
• Giải hệ phương trình để tìm tọa độ.
• Thường xuất hiện nhiều biến thể: trung điểm, giao điểm, trực tâm, trọng tâm, đường phân giác, đối xứng.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải nhanh và chính xác, học sinh nên theo dõi quy trình sau:

1. Xác định loại bài toán và điều kiện cho trước (điểm, đường thẳng, tam giác,…).
2. Chọn hệ tọa độ thích hợp: thường là đặt một đỉnh ở gốc, một cạnh trên trục Ox/Oy.
3. Gán tọa độ tổng quát cho điểm cần tìm và các điểm liên quan.
4. Diễn đạt điều kiện hình học thành phương trình hoặc bất phương trình.
5. Giải hệ phương trình (đại số, vectơ, ma trận) hoặc sử dụng kiến thức hình học để rút gọn.
6. Kiểm tra và loại bỏ nghiệm ngoại lai (nếu có).
7. Trình bày kết quả rõ ràng.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ mẫu: Cho tam giác$ABC$với$A(0,0)$,$B(4,0)$,$C(0,3)$. Tìm tọa độ chân đường cao từ $A$ đến$BC$.

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng$BC$.

- Điểm$B(4,0)$,$C(0,3)$. Hệ số góc$m_{BC} = \frac{3-0}{0-4} = -\frac{3}{4}.$
- Phương trình dạng$y - 0 = -\tfrac{3}{4}(x - 4)$, tức$y = -\tfrac{3}{4}x + 3.$

Bước 2: Phương trình đường cao từ $A$có hệ số góc$m_{AH}$thỏa mãn$m_{BC} \cdot m_{AH} = -1$.
$m_{AH} = \frac{4}{3}.$
Phương trình:$y = \tfrac{4}{3}x.$

Bước 3: Tìm giao điểm$H$của hai đường thẳng bằng cách giải hệ:

Thế $y$từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất:
$\tfrac{4}{3}x = -\tfrac{3}{4}x + 3 \ \Rightarrow \ \tfrac{4}{3}x + \tfrac{3}{4}x = 3 \ \Rightarrow \ \tfrac{25}{12}x = 3 \ \Rightarrow \x = \tfrac{36}{25}.$
Khi đó $y = \tfrac{4}{3} \cdot \tfrac{36}{25} = \tfrac{48}{25}.$

Vậy$H\bigl(\tfrac{36}{25},\,\tfrac{48}{25}\bigr)$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Công thức khoảng cách giữa hai điểm $A(x_1,y_1)$và $B(x_2,y_2)$: $d_{AB} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.$

- Tọa độ trung điểm$M$của$AB$:$M\Bigl(\tfrac{x_1+x_2}{2},\,\tfrac{y_1+y_2}{2}\Bigr).$

- Hệ số góc đường thẳng qua$A(x_1,y_1)$và $B(x_2,y_2)$:$m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$(nếu$x_2<br> \neq x_1$).

- Phương trình đường thẳng dạng$y = mx + b$hoặc$ax + by + c = 0.$

- Tọa độ hình chiếu vuông góc của$P(x_0,y_0)$lên đường thẳng$ax+by+c=0$:$\Bigl(\tfrac{b(bx_0-ay_0)-ac}{a^2+b^2},\,\tfrac{a(-bx_0+ay_0)-bc}{a^2+b^2}\Bigr).$

6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

- Cho điều kiện trung điểm, trọng tâm, trực tâm: sử dụng công thức tọa độ trung điểm hoặc trọng tâm (trọng tâm$G$của tam giác$ABC$:$G(\tfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\,\tfrac{y_A+y_B+y_C}{3})$).

- Cho điều kiện góc: chuyển thành hệ số góc hoặc tích vô hướng vectơ bằng 0.

- Cho điều kiện song song hoặc vuông góc: dựa vào tính chất hệ số góc và tích vô hướng.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho đường tròn tâm$O(1,2)$, bán kính$r=5$, và điểm$P(7,4)$. Tìm tọa độ giao điểm$A,B$của đường thẳng qua$P$có hệ số góc$m=-\tfrac{4}{3}$với đường tròn.

Giải:

1. Phương trình đường thẳng:$y-4 = -\tfrac{4}{3}(x-7) \ \Rightarrow \y = -\tfrac{4}{3}x + \tfrac{40}{3}.$
2. Viết phương trình đường tròn:$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 25.$
3. Thế $y$vào:$(x-1)^2 + \Bigl(-\tfrac{4}{3}x+\tfrac{40}{3}-2\Bigr)^2 = 25.$
4. Giải phương trình thu được hai nghiệm$x_A,x_B$, sau đó tìm$y_A,y_B$.
5. Kết luận: Thông thường các bước tính toán phải cẩn thận để đưa ra kết quả chính xác.

8. Bài tập thực hành

1. Cho tam giác$ABC$với$A(1,1)$,$B(5,1)$,$C(3,4)$. Tìm tọa độ trọng tâm$G$và trực tâm$H$.

2. Cho đường thẳng$d:2x-3y+6=0$và điểm$M(1,-2)$. Tìm hình chiếu vuông góc của$M$lên$d$.

3. Cho đường tròn$(O):x^2+y^2=10$và tiếp tuyến tại điểm$A(3,1)$cắt trục$Oy$tại$B$. Tìm$B$.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm

- Luôn kiểm tra điều kiện ràng buộc (song song, vuông góc, trong tam giác…).

- Viết rõ ràng từng bước, tránh nhầm lẫn dấu cộng/trừ trong LaTeX.

- Kiểm tra nghiệm cuối cùng thỏa mãn điều kiện gốc của bài toán.