1. Giới thiệu về bài toán tính khoảng biến thiên và ý nghĩa

Bài toán "tính khoảng biến thiên" là một trong những chủ đề quan trọng của chương trình Toán 12, thường xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia và học kỳ. Dạng toán này yêu cầu xác định tập hợp các giá trị mà một biểu thức (thường là hàm số, biểu thức đại số hoặc căn thức, phân thức) có thể nhận được khi biến số thay đổi trong một tập xác định. Hiểu rõ cách giải bài toán tính khoảng biến thiên sẽ giúp học sinh nắm vững bản chất hàm số và thành thạo kỹ năng phân tích, biến đổi biểu thức.

2. Đặc điểm của bài toán tính khoảng biến thiên

Đặc điểm thường gặp của bài toán này là:

• Biểu thức có chứa tham số, biến số hoặc là hàm hợp của biến.
• Biểu thức có thể chứa căn, phân thức hoặc biểu thức đại số.
• Khoảng biến thiên là tập giá trị (tập ảnh) của hàm số hoặc biểu thức khi biến số chạy trong khoảng/tập xác định.
• Đầu bài thường yêu cầu xác định tập giá trị, xác định các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, hoặc biện luận giá trị tham số.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán tính khoảng biến thiên

Để giải quyết bài toán này hiệu quả, bạn cần thực hiện các bước cơ bản sau:

• Bước 1: Xác định rõ biểu thức/hàm số cần xét và miền xác định của biến.
• Bước 2: Biến đổi biểu thức về dạng quen thuộc hoặc đơn giản hơn nếu cần thiết.
• Bước 3: Phân tích hàm số (nếu có) để tìm cực trị, giá trị lớn nhất/nhỏ nhất.
• Bước 4: Xét các điểm biên (biên trái, biên phải, điểm không xác định) của miền xác định.
• Bước 5: Kết hợp các giá trị đạt được, đối chiếu điều kiện để chọn ra khoảng biến thiên chính xác.

4. Các bước giải chi tiết và ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm khoảng biến thiên của hàm số $y = x^2 - 2x + 3$khi$x$chạy trên$\big[0; 2\big]$.

• Bước 1: Xác định miền xác định. Ở đây$x \in [0;2]$.
• Bước 2: Tính giá trị hàm tại biên:$y(0) = 0^2 - 2 \times 0 + 3 = 3$;$y(2) = 2^2 - 2 \times 2 + 3 = 4 - 4 + 3 = 3$.
• Bước 3: Tính đạo hàm$y' = 2x - 2$. Giải$y' = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in [0;2]$.
• Bước 4: Giá trị hàm tại$x=1$:$y(1) = 1^2 - 2 \times 1 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.
• Bước 5: Vì $y(0) = y(2) = 3$,$y(1) = 2$nên khoảng biến thiên là $[2;3]$.

Ví dụ 2: Tìm khoảng biến thiên của biểu thức $A = \sqrt{4 - x^2}$với$x \in [-2;2]$.

• Bước 1: Biểu thức xác định khi$4 - x^2 \ge 0 \Leftrightarrow -2 \le x \le 2$(trùng miền đã cho).
• Bước 2: Giá trị nhỏ nhất đạt tại$x = \pm 2$:$A = 0$. Giá trị lớn nhất tại$x=0$:$A = 2$.
• Bước 3: Vậy khoảng biến thiên là $[0;2]$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ khi tính khoảng biến thiên

• Đạo hàm: Xác định cực trị để tìm giá trị lớn/nhỏ nhất (cho hàm liên tục, có miền xác định là khoảng kín).
• ĐKXĐ (Điều kiện xác định):$f(x)$có thể cần giải bất phương trình để tìm miền giá trị của biến.
• Đặt ẩn phụ/đổi biến để rút gọn biểu thức hoặc đưa về dạng quen thuộc.
• Phương pháp xét đơn điệu (với các hàm đồng biến/nghịch biến trên miền xác định).

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Dạng toán có thể gặp:

• Biểu thức căn thức: Xét điều kiện$A \ge 0$, kiểm tra giá trị tại điểm cực trị và biên.
• Biểu thức phân thức: Chú ý phân tích miền xác định, điểm không xác định, tiệm cận.
• Biểu thức chứa tham số: Phải biện luận tham số để tìm các giá trị tối ưu.
• Kết hợp nhiều phép toán: Đặt ẩn phụ hoặc đổi biến, sử dụng các bất đẳng thức hoặc đạo hàm.

Khi gặp các biến thể này, bạn nên:

• Kiểm soát kỹ điều kiện xác định.
• Ưu tiên xét giá trị tại biên, điểm cực trị (nếu có).
• Với tham số, xét từng trường hợp đặc biệt/mở rộng.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập: Tìm khoảng biến thiên của biểu thức:

M = \frac{2x-1}{x+2}, \quad x \in [0; 4]

• Bước 1:$x \in [0; 4]$, không chứa giá trị nào làm mẫu số bằng 0 ($x+2 = 0 \Leftrightarrow x = -2 <br>otin [0; 4]$).
• Bước 2:$M = \frac{2x-1}{x+2}$là hàm phân thức, đồng biến trên$( -2; +\infty )$.
• Bước 3: Giá trị tại$x = 0$:$M_0 = \frac{2 \times 0-1}{0+2} = \frac{-1}{2}$.
• Bước 4: Giá trị tại$x = 4$:$M_4 = \frac{2 \times 4-1}{4+2} = \frac{8-1}{6} = \frac{7}{6}$.
• Bước 5: Trong$(0; 4)$,$M$liên tục và đồng biến, nên khoảng biến thiên là $[\frac{-1}{2}; \frac{7}{6}]$.

8. Bài tập thực hành tự luyện

1. Tìm khoảng biến thiên của hàm số $y = -3x^2 + 6x - 1$khi$x \in [0; 2]$.
2. Tìm khoảng biến thiên của $B = \sqrt{x + 1} - x$, với $x \in [-1; 3]$.
3. Tìm khoảng biến thiên của$N = \frac{3x+2}{1-x}$với$x \in [0; 0.5]$.

(Đáp án chi tiết nên được thử giải theo quy trình đã hướng dẫn ở trên và đối chiếu với đáp số)

9. Mẹo, lưu ý và các lỗi phổ biến cần tránh

• Luôn xác định rõ miền xác định trước khi tính giá trị lớn nhất/nhỏ nhất.
• Đừng bỏ qua các điểm biên! Nhiều bài toán giá trị lớn/nhỏ nhất lại đạt được tại biên.
• Khi có căn, phân thức hoặc điều kiện đặc biệt, hãy kiểm soát kỹ các điểm làm mất điều kiện xác định.
• Lưu ý trường hợp giá trị cực trị ngoài miền xác định – không lấy giá trị này.
• Có thể kiểm tra nhanh giá trị bằng máy tính nhưng phải hiểu và phân tích lý thuyết bản chất.

Với các phương pháp trên, học sinh sẽ chủ động và tự tin hơn khi giải quyết các dạng bài toán tính khoảng biến thiên trong đề thi THPT Quốc Gia cũng như các tình huống mở rộng khác.