Cách giải bài toán Tính khoảng tử phân vị – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán Tính khoảng tử phân vị

Khoảng tử phân vị là một khái niệm quan trọng trong xác suất và thống kê, đặc biệt trong chương trình Toán lớp 12, chương "Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm". Việc tính khoảng tử phân vị giúp đánh giá mức độ phân tán và sự phân bố của bộ dữ liệu. Đây là công cụ đắc lực trong việc phân tích và xử lý số liệu, đồng thời hay xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia cũng như kiểm tra học kỳ.

2. Đặc điểm của bài toán Tính khoảng tử phân vị

Những đặc điểm chính:

• Thường xuất hiện với số liệu ghép nhóm dưới dạng bảng tần số hoặc bảng phân bố tần số.
• Yêu cầu xác định một vị trí tương đối trong dãy dữ liệu (phân vị, tứ phân vị, bách phân vị...).
• Cần vận dụng công thức khoảng tử phân vị cho số liệu ghép nhóm.

3. Chiến lược tổng thể giải bài toán khoảng tử phân vị

Khi gặp bài toán yêu cầu tính khoảng tử phân vị, học sinh nên thực hiện các bước tổng thể sau:

1. Nhận diện đúng dạng bài toán: Xác định đây là bài toán số liệu ghép nhóm và cần tính phân vị nào.
2. Xác định công thức phù hợp với loại phân vị yêu cầu (tứ phân vị, bách phân vị, v.v.).
3. Xác định vị trí phân vị trên tổng số mẫu dữ liệu.
4. Tìm khoảng chứa phân vị đó.
5. Áp dụng công thức, thay số và tính toán ra kết quả chính xác.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Hãy đi sâu vào từng bước giải quyết bài toán. Dưới đây là ví dụ minh họa với cách giải cụ thể.

Ví dụ: Cho bảng phân bố tần số về điểm kiểm tra Toán như sau:

Lớp điểm		7-8	8-9	9-10
Số HS		4	7	9

Yêu cầu: Tính tứ phân vị thứ nhất$Q_1$của bảng số liệu trên.

Hướng dẫn giải từng bước:

1. Tính tổng số học sinh:$N = 4 + 7 + 9 = 20$.
2. Xác định vị trí cần tìm:$Q_1$là tứ phân vị thứ nhất, ứng với vị trí $\frac{N}{4}$.
   $\frac{N}{4} = \frac{20}{4} = 5$
3. Tìm lớp chứa$Q_1$:
   - Cộng dồn tần số:
   - Lớp 7-8: 4 (tích lũy: 4)
   - Lớp 8-9: 4+7=11 (tích lũy: 11)
   - Lớp 9-10: 11+9=20 (tích lũy: 20)
   
   - Vị trí thứ 5 nằm ở lớp 8-9 (vì 4 < 5 ≤ 11).
4. Xác định các giá trị cho công thức:
   -$L$(cận dưới lớp chứa$Q_1$):$8$
   -$f$(tần số lớp chứa$Q_1$):$7$
   -$F$(tần số tích lũy trước lớp chứa$Q_1$):$4$
   -$h$(độ dài lớp):$9-8=1$
5. Áp dụng công thức tứ phân vị:
   $Q_1 = L + \frac{\frac{N}{4} - F}{f} \times h$
   
   Thay số:
   $Q_1 = 8 + \frac{5 - 4}{7} \times 1 = 8 + \frac{1}{7} \approx 8,14$

Kết luận: Tứ phân vị thứ nhất$Q_1 \approx 8,14$.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

Công thức tính khoảng tử phân vị $K_p$cho số liệu ghép nhóm:

Trong đó:

• $L$: Cận dưới của lớp chứa phân vị
• $N$: Tổng số quan sát (tổng tần số)
• $F$: Tần số tích lũy trước lớp chứa phân vị
• $f$: Tần số của lớp chứa phân vị
• $h$: Độ rộng của lớp
• $p$: Loại phân vị:
  -$Q_1$với$p = \frac{1}{4}$(tứ phân vị thứ nhất)
  -$Q_3$với$p = \frac{3}{4}$(tứ phân vị thứ ba)
  -$D_k$với$p = \frac{k}{10}$(thập phân vị thứ $k$)
  -$P_k$với$p = \frac{k}{100}$(bách phân vị thứ $k$)
  

6. Biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Các biến thể bạn có thể gặp:

• Tính thập phân vị (ví dụ $D_3$), bách phân vị (ví dụ $P_{20}$) hoặc phân vị bất kỳ.
• Bảng số liệu có thể nhiều lớp, lớp không đều nhau, hoặc tổng tần số lớn.

Cách điều chỉnh chiến lược:

1. Thay$p$phù hợp vào công thức ($p = \frac{k}{10}$với thập phân vị,$p = \frac{k}{100}$với bách phân vị).
2. Nếu lớp không đều, xác định chính xác$h$là độ dài của lớp chứa phân vị.
3. Nếu gặp số liệu dạng bảng, chú ý chính xác vị trí tìm phân vị.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập: Cho bảng dưới đây về tuổi thọ (đơn vị: năm) của 40 bóng đèn:

Khoảng tuổi thọ (năm)	10-12	12-14	14-16	16-18	18-20
Số bóng đèn	4	10	15	8	3

Tính bách phân vị thứ 25$P_{25}$của mẫu số liệu trên.

Giải chi tiết từng bước:

1. Tổng số bóng đèn:$N = 4 + 10 + 15 + 8 + 3 = 40$.
2. Xác định vị trí cần tìm:
   
   undefined
3. Xây dựng bảng tần số tích lũy:
   - 10-12: 4
   - 12-14: 4+10=14
   - 14-16: 14+15=29
   - 16-18: 29+8=37
   - 18-20: 37+3=40
   
   Vị trí thứ 10 ở lớp 12-14 (vì 4 < 10 ≤ 14)
4. Các giá trị đưa vào công thức:
   -$L = 12$
   -$F = 4$
   -$f = 10$
   -$h = 14-12=2$
5. Áp dụng công thức:
   $P_{25} = L + \frac{p \cdot N - F}{f} \times h = 12 + \frac{10 - 4}{10} \times 2 = 12 + 1.2 = 13.2$

Kết luận: Bách phân vị thứ 25,$P_{25} = 13.2$(năm).

8. Bài tập thực hành

Hãy tự luyện với các bài tập sau (tự làm, đối chiếu đáp án ở cuối bài):

1. Cho bảng phân bố dưới đây:
   Lớp điểm: 5-7 | 7-9 | 9-11 | 11-13
   Tần số: 2 | 6 | 10 | 7
   Tính thập phân vị thứ 4$D_4$.
2. Cho bảng:
   Khoảng lương (triệu đồng): 2-4 | 4-6 | 6-8 | 8-10
   Số người: 5 | 12 | 20 | 8
   Tính tứ phân vị thứ 3$Q_3$.

Đáp án bài tập thực hành

Bài 1:
Tổng cộng$N = 2+6+10+7=25$.
$D_4$vị trí $\frac{4}{10} \cdot 25 = 10$.
Tích lũy: 2 | 8 | 18 | 25.
Vị trí 10 ở lớp 9-11.$L=9$,$F=8$,$f=10$,$h=2$.$D_4 = 9 + \frac{10-8}{10} \times 2 = 9+0.4=9.4$.

Bài 2:
N=5+12+20+8=45.$Q_3$là $\frac{3}{4} \cdot 45=33.75$.
Tích lũy: 5 | 17 | 37 | 45. Vị trí 33.75 thuộc lớp 6-8.
$L=6$,$F=17$,$f=20$,$h=2$.
$Q_3 = 6 + \frac{33.75-17}{20} \times 2 = 6+1.68=7.68$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn cộng dồn tần số một cách chính xác, tránh nhầm vị trí phân vị.
• Kiểm tra kỹ từng giá trị đưa vào công thức (đặc biệt là $F$,$f$,$h$và $L$).
• Phân biệt rõ phân vị cần tính (tứ phân vị, thập phân vị, bách phân vị...).
• Nhớ xác định đúng cận dưới lớp ($L$), không dùng cận trên.
• Với lớp không cân đều, hãy luôn dùng đúng độ rộng lớp chứa phân vị.
• Sau khi tính, cân nhắc làm tròn kết quả phù hợp với đề hoặc giữ 2 chữ số thập phân.

Luyện tập nhiều sẽ giúp kỹ năng tính khoảng tử phân vị thành thạo và tránh được các lỗi nhỏ khi làm bài kiểm tra hay thi tốt nghiệp.