Cách giải bài toán Tổng, hiệu, tích hằng số với hàm số (Toán lớp 12): Chiến lược, ví dụ minh họa và luyện tập

1. Giới thiệu về bài toán Tổng, hiệu, tích hằng số với hàm số

Dạng toán về tổng, hiệu, tích với hằng số của các hàm số là một chuyên đề trọng tâm trong chương trình Toán lớp 12. Các bài toán này thường xuất hiện dưới dạng tính đạo hàm, nguyên hàm hoặc khảo sát các hàm số tổ hợp (dạng$af(x) + bg(x)$,$kf(x)$…). Việc nắm vững chiến lược giải giúp học sinh xử lý nhanh, chính xác các dạng bài cơ bản và mở rộng, đồng thời hình thành kỹ năng vận dụng trong các kỳ thi quan trọng như thi THPT Quốc gia.

2. Đặc điểm của bài toán Tổng, hiệu, tích hằng số với hàm số

• Về bản chất, các bài toán này liên quan trực tiếp đến các quy tắc tính toán cơ bản trong đạo hàm/ nguyên hàm:
• Khai thác tính tuyến tính của phép cộng, trừ, nhân hằng số với các hàm số.
• Các bài toán thường có yêu cầu phân tích, tính toán, chứng minh liên quan đến dạng:

+$F(x) = af(x) + bg(x)$

+$F(x) = kf(x)$

(với$a, b, k$là các hằng số)

3. Chiến lược tổng thể giải bài toán tổng, hiệu, tích hằng số với hàm số

• Phân tích bài toán: Xác định yêu cầu (tính đạo hàm, nguyên hàm, khảo sát,…), nhận dạng dạng tổng, hiệu, tích hằng số.
• Áp dụng tính chất toán học (tính tuyến tính trong đạo hàm/nguyên hàm) để tách vấn đề.
• Tính toán các thành phần đơn giản (đạo hàm, nguyên hàm của từng hàm số thành phần).
• Kết hợp kết quả theo công thức tuyến tính.

4. Hướng dẫn giải bài toán chi tiết với ví dụ minh họa

Cùng xét các phương diện đạo hàm và nguyên hàm với bài toán tổng quát:

A. Dạng đạo hàm:$[af(x) + bg(x)]'$,$[kf(x)]'$

Công thức cần nhớ:

(af(x) + bg(x))' = a f'(x) + b g'(x)

(k f(x))' = k f'(x)

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của $F(x) = 3x^2 - 5\sin x + 2$

• Nhận diện: $F(x)$là tổ hợp tuyến tính của các hàm$x^2$, $\sin x$ và hằng số.
• Tính riêng rẽ từng thành phần:
• $[3x^2]’ = 3 \cdot 2x = 6x$
• $[-5\sin x]' = -5 \cos x$
• $[2]' = 0$
• Vậy$F'(x) = 6x - 5\cos x$

B. Dạng nguyên hàm:$\int [af(x) + bg(x)] dx$,$\int kf(x) dx$

Công thức cần nhớ:

$\int$[af(x) + bg(x)] dx = a$\int$f(x)dx + b$\int$g(x)$\int$kf(x)dx = k$\int$f(x)" data-math-type="inline"> dx<!--LATEX_PROCESSED_1755545153379--></p><p><span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>∫</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\int</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.1111em;vertical-align:-0.3061em;"></span><span class="mop op-symbol small-op" style="margin-right:0.19445em;position:relative;top:-0.0006em;">∫</span></span></span></span></span>kf(x)dx = k<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>∫</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\int</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.1111em;vertical-align:-0.3061em;"></span><span class="mop op-symbol small-op" style="margin-right:0.19445em;position:relative;top:-0.0006em;">∫</span></span></span></span></span>f(x)

$\int$kf(x)dx = k$\int$f(x)$ dx

Ví dụ 2: Tính nguyên hàm$I = \int (2x^3 - 7\cos x + 5) dx$

• Nhận diện: Dạng tổng các hàm số, có thể tách nguyên hàm.
• $\int 2x^3 dx = 2 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{2}$
• $\int -7\cos x dx = -7 \int \cos x dx = -7 \sin x$
• $\int 5 dx = 5x$
• Vậy $I = \frac{x^4}{2} - 7\sin x + 5x + C$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• $[a f(x) + b g(x)]' = a f'(x) + b g'(x)$
• $[k \in \mathbb{Z}(x)]' = k \in \mathbb{Z}'(x)$
• $\int [a f(x) + b g(x)] dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx$
• $\int k \in \mathbb{Z}(x) dx = k \int f(x) dx$

6. Biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

Các biến thể thường gặp:

• Khảo sát sự biến thiên, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của tổ hợp hàm: Áp dụng quy tắc đạo hàm tổ hợp các hàm số.
• Tính tích phân xác định của tổ hợp các hàm số: Áp dụng tính chất tuyến tính của tích phân.
• Giải phương trình liên quan đến tổng, hiệu các hàm số: Đưa về từng hàm riêng rồi tính, giải.
• Các bài toán nâng cao có thể kết hợp với hàm hợp, đạo hàm cấp cao,...: Cần phân tích kỹ để vận dụng linh hoạt công thức cơ bản.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập mẫu 1: Tính đạo hàm$y = 4x^3 - 2x + 7$

1. Nhận diện: Hàm tổ hợp bậc ba, tuyến tính theo hệ số.
2. Đạo hàm từng phần:
3. $[4x^3]' = 12x^2$
4. $[-2x]' = -2$
5. $[7]' = 0$
6. Vậy$y' = 12x^2 - 2$

Bài tập mẫu 2: Tính nguyên hàm$J = \int_{0}^{\pi} [6\cos x - 8] dx$

1. Tách nguyên hàm:$\int_{0}^{\pi} 6\cos x dx - \int_{0}^{\pi} 8 dx$
2. $\int_{0}^{\pi} 6\cos x dx = 6 \int_{0}^{\pi} \cos x dx = 6 [\sin x]_{0}^{\pi} = 6(\sin \pi - \sin 0) = 6(0-0) = 0$
3. $\int_{0}^{\pi} 8 dx = 8[x]_{0}^{\pi} = 8(\pi-0) = 8\pi$
4. Vậy$J = 0 - 8\pi = -8\pi$

8. Bài tập thực hành

- Tính đạo hàm: 1. $f(x) = 6x^4 - 2x^2 + 3$2.$y = -5\sin x + 7x$- Tính nguyên hàm: 3.$I = \int(3x^2 + 2) dx$4.$J = \int_{1}^{3} (4x - 1) dx$- Tính tích phân xác định: 5.$K = \int_{0}^{\pi/2} [2\cos x + 3] dx$

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn nhớ hằng số đạo hàm bằng 0, nguyên hàm của hằng số $c$là $cx$.
• Khi giải bài toán tổng, hiệu, nhân hằng số với hàm số, phải áp dụng đúng công thức tuyến tính – không thực hiện phép nhân giữa hàm số và biến theo quy tắc cộng thông thường.
• Chú ý dấu âm (đặc biệt với lượng giác), và hằng số tích phân.
• Với tích phân xác định, cần tính giá trị tại cận trên và dưới rồi lấy hiệu.
• Nếu làm ra biểu thức phức tạp, nên kiểm tra lại bằng đạo hàm hoặc nguyên hàm để xác minh kết quả.