1. Giới thiệu về bài toán vận tốc - quãng đường

Bài toán ứng dụng định nghĩa tích phân trong vấn đề vận tốc - quãng đường là một nội dung trọng tâm trong chương trình Giải tích 12. Thông qua việc xác định quãng đường đi được dưới đồ thị vận tốc, học sinh củng cố hiểu biết về tích phân xác định và khả năng áp dụng các công thức cơ bản. Đây cũng là nền tảng quan trọng để giải các bài toán chuyển động biến đổi, ôn thi THPT Quốc gia và thi Đại học.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán

• Cho hàm vận tốc$v(t)$của một vật chuyển động trên đoạn thời gian$[a,b]$.

• Yêu cầu tính quãng đường đi được:$s = ext{đạo hàm nguyên hàm của}v(t)$hoặc tích phân xác định.

• Đôi khi cần tìm hàm quãng đường$s(t)$tại thời điểm bất kỳ hoặc quãng đường trên một khoảng con.

• Thường kết hợp điều kiện ban đầu$s(t_0)=s_0$.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

• Bước 1: Xác định đúng hàm vận tốc$v(t)$và miền thời gian$[a,b]$.

• Bước 2: Viết biểu thức tích phân xác định hoặc nguyên hàm$s(t)=igl(ext{Nguyên hàm của}v(t)igr)+C$.

• Bước 3: Ứng dụng điều kiện ban đầu để tìm hằng số $C$(nếu cần).

• Bước 4: Tính tích phân xác định$ext{Quãng đường}= igl[s(t)igr]_{a}^{b}=extstyleigl(ext{Nguyên hàm tại}bigr)-igl(ext{Nguyên hàm tại}aigr).$

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định hàm vận tốc và khoảng thời gian chuyển động. Ví dụ: Cho$v(t)=3t^2+2t$($ext{m/s}$) với$t\ \in [0,2]$(s).

Bước 2: Tìm nguyên hàm của$v(t)$.

• Tính$ext{Nguyên hàm}s(t)=igl(\int v(t)dt\bigr)+C=igl(\int(3t^2+2t)dt\bigr)+C=t^3+t^2+C.$

Bước 3: Xác định$C$nếu biết$s(0)$. Giả sử $s(0)=0$thì $C=0$.

Bước 4: Tính quãng đường đi được từ $t=0$ đến$t=2$.

• Áp dụng tích phân xác định:

$s(2)-s(0)=(2^3+2^2)-(0^3+0^2)=8+4=12ext{m}.$

Kết quả: Vật đi được$12$m trong$2$s.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Định nghĩa tích phân xác định:$extstyleigl[s(t)igr]_{a}^{b}=extstyleigl(ext{Nguyên hàm tại}bigr)-igl(ext{Nguyên hàm tại}aigr).$

• Quan hệ giữa vận tốc và quãng đường:$v(t)=s'(t)$, do đó $s(t)=\int v(t)dt+C$.

• Cách khử hằng số $C$bằng điều kiện ban đầu.

• Kỹ thuật tách thành tích phân từng phần hoặc đổi biến khi$v(t)$phức tạp.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

• Vật đổi chiều chuyển động: cần tách khoảng tích phân khi$v(t)$ đổi dấu.

• Xác định quãng đường tổng cộng đi được (lấy giá trị tuyệt đối của tốc độ):$extstyleext{Quãng đường}=igl|\int v(t)dtigr|$từng đoạn.

• Vận tốc chứa căn hoặc lũy thừa khác thường: áp dụng đổi biến hợp lý.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập: Cho $v(t)=4\sin t$(m/s), chuyển động trên$[0,\pi]$. Biết $s(0)=1$m. Tính quãng đường đi được và biểu thức$s(t)$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm nguyên hàm: $s(t)=\int4\sin t\,dt+C=-4\cos t+C.$

Bước 2: Áp dụng điều kiện$s(0)=1$:

•$s(0)=-4\cos0+C=-4 \cdot 1+C=1 \Rightarrow C=5$.

Vậy$s(t)=-4\cos t+5$.

Bước 3: Tính quãng đường từ $0$ đến$\pi$:

•$s(\pi)-s(0)=\bigl(-4\cos \pi+5\bigr)-(-4\cos0+5)=(-4 \cdot (-1)+5)-(-4 \cdot 1+5)=4+5-(-4+5)=9-1=8\text{m}.$

Kết luận: Vật đi được$8$m trên đoạn thời gian đã cho.

8. Bài tập thực hành

1) Cho$v(t)=5t^3-3t$trên$[1,2]$, biết$s(1)=0$. Tính$s(2)$và quãng đường đi được.

2) Một vật có vận tốc$v(t)=2e^{-t}$(m/s) với$t \in [0,1]$và $s(0)=2$. Tính quãng đường đi được trong$1$s.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra dấu của$v(t)$: nếu có đổi chiều, tách tích phân theo dấu.

• Phải áp dụng đúng điều kiện ban đầu để xác định$C$.

• Phân tích hàm$v(t)$trước khi tính tích phân: đơn giản hóa nếu có thể.

• Khi$v(t)$có căn hoặc mũ, sử dụng đổi biến thích hợp và ghi rõ bước.

Kết luận

Qua bài viết, học sinh lớp 12 đã nắm rõ chiến lược giải bài toán vận tốc - quãng đường bằng định nghĩa tích phân, từ khâu xác định hàm vận tốc, tìm nguyên hàm, đến tính tích phân xác định và xử lý các biến thể. Thực hành nhiều bài tập và chú ý mẹo sẽ giúp nâng cao kỹ năng, tự tin giải các dạng bài này trong kiểm tra và kỳ thi.