Cách giải bài toán ứng dụng tính đơn điệu vào bài toán thực tế lớp 12: Chiến lược và ví dụ chi tiết

1. Giới thiệu về bài toán ứng dụng tính đơn điệu và tầm quan trọng

Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số là một chủ đề trọng tâm trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt ở chương I (Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số). Đây là nền tảng để giải quyết các bài toán thực tế tối ưu hóa, như tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (cực trị) của các đại lượng liên quan trong đời sống và sản xuất. Việc nắm vững chiến lược giải loại bài toán này giúp học sinh không chỉ làm tốt các đề thi THPT Quốc gia mà còn phát triển tư duy logic, khả năng vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn.

2. Đặc điểm của bài toán ứng dụng tính đơn điệu vào thực tế

• Bài toán thường yêu cầu tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của một đại lượng (thể tích, diện tích, chi phí...).
• Có mô tả thực tế, từ đó học sinh phải xây dựng biểu thức đại số cho đại lượng cần tối ưu.
• Biến số thường bị ràng buộc bởi các điều kiện (điều kiện hình học, giới hạn kỹ thuật...).
• Đòi hỏi học sinh vận dụng đạo hàm để xét chiều biến thiên (đơn điệu), xác định các cực trị trong miền xác định.

3. Chiến lược tổng thể giải bài toán ứng dụng tính đơn điệu

1. Phân tích đề bài, xác định đại lượng cần tối ưu hóa.
2. Xây dựng biểu thức (hàm số) liên hệ các đại lượng.
3. Tìm điều kiện xác định (điều kiện thực tế của biến).
4. Chuyển về bài toán toán học: Tìm GTLN/GTNN của hàm với biến số trên đoạn đã cho.
5. Tính đạo hàm, tìm các điểm tới hạn (nghiệm của$f'(x) = 0$hoặc không xác định).
6. Lập bảng biến thiên để khảo sát sự biến thiên của hàm.
7. So sánh giá trị tại các điểm tới hạn và biên để xác định nghiệm tối ưu.
8. Trả lời bằng lời văn, giải thích ý nghĩa thực tế.

4. Chi tiết các bước giải với ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa 1 (dạng cơ bản): "Một tấm tôn hình chữ nhật kích thước$a$(m) x$b$(m). Người ta cắt ở bốn góc tấm tôn các hình vuông cạnh$x$(m), sau đó gập các cạnh lên để được một cái hộp chữ nhật không nắp. Tìm$x$ để thể tích hộp lớn nhất."

1. Phân tích đề, xác định đại lượng cần tối ưu: thể tích hộp$V$.
2. Xây dựng biểu thức: Ta có kích thước đáy hộp là $a - 2x$,$b - 2x$, chiều cao là $x$. Nên$V = x(a-2x)(b-2x)$.
3. Tìm điều kiện xác định:$0 < x < \frac{1}{2} ext{min}(a,b)$.
4. Tính đạo hàm:
   $V'(x) = (a-2x)(b-2x) - 2x(b-2x) - 2x(a-2x)$
   =$(a-2x)(b-2x) - 2x(b-2x) - 2x(a-2x)$
   =$(a-2x)(b-2x) - 2x[b-2x + a-2x]$
   =$(a-2x)(b-2x) - 2x(a+b-4x)$.
5. Giải phương trình$V'(x)=0$ để tìm điểm tới hạn.
6. So sánh giá trị $V(x)$tại các điểm$x=0$,$x$nghiệm và $x = \frac{1}{2}ext{min}(a,b)$ để kết luận.

Ví dụ minh họa 2 (có điều kiện phụ):
"Một sợi dây dài 20m, dùng để làm khung hình chữ nhật sẽ căng sát vào tường, một cạnh khung dựa sát tường và không cần dây. Hỏi kích thước các cạnh để diện tích hình chữ nhật lớn nhất?"

1. Gọi chiều rộng (dựa tường) là $x$, chiều cao là $y$.
   Ta có $x+2y=20$(vì 1 cạnh dựa tường không cần dây).
2. Diện tích$S= x<em>y$. Từ $x+2y=20\implies x=20-2y$.
   $\to S= (20-2y)</em>y = 20y - 2y^2$.
3. Điều kiện:$y>0, x>0\implies 0<y<10$(vì $x=20-2y>0 \to y<10$).
4. Xét hàm$S(y) = 20y - 2y^2$trên$(0,10)$.
5. Tính đạo hàm:$S'(y) = 20-4y$.
   $S'(y)=0 \iff y=5$.
6. So sánh$S(y)$tại$y=0$,$y=5$,$y=10$.
   $S(5)=20<em>5-2</em>25=100-50=50$(đạt lớn nhất tại$y=5$).
7. Kết luận: Cạnh tựa tường$x=10$, cạnh vuông góc$y=5$thì diện tích lớn nhất.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Cách xét tính đơn điệu: Xét dấu của$f'(x)$trên miền xác định.
• Hàm đạt cực đại (lớn nhất) hoặc cực tiểu (nhỏ nhất) tại các điểm tới hạn (nghiệm$f'(x)=0$) hoặc tại biên.
• Lập bảng biến thiên để tổng hợp tính đơn điệu và các giá trị tại điểm biên.
• Quy tắc biến đổi điều kiện thực tế sang điều kiện xác định biến số: sử dụng các kiến thức hình học, đại số.
• Để xây dựng biểu thức tối ưu, luôn cố gắng chuyển hàm về một biến.

6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

• Bài toán tối ưu có nhiều điều kiện phụ: dùng phương pháp thay ẩn, sử dụng bất đẳng thức.
• Khi không tìm được đạo hàm dễ: sử dụng kỹ thuật so sánh, thử giá trị tại điểm đặc biệt.
• Nếu điều kiện thực tế phức tạp (dạng kết hợp hàm số mũ, logarit...): lập biểu thức theo từng biến cho phù hợp.
• Một số bài toán thực tế còn dùng tới đạo hàm cấp hai để nhận dạng cực trị.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết từng bước

Bài toán: "Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 100m. Hãy xác định các kích thước của mảnh đất để diện tích lớn nhất."

1. Gọi chiều dài là $x$(m), chiều rộng là $y$(m). Theo đề:$2x + 2y = 100 \implies x + y = 50$.
2. Diện tích$S = x*y$.$y = 50-x$. Vậy$S(x) = x(50-x) = 50x - x^2$.
3. Điều kiện:$0 < x < 50$(vì chiều dài phải dương và nhỏ hơn tổng chu vi chia 2).
4. Tìm$S'(x) = 50 - 2x$.$S'(x)=0 \iff x=25$.
5. So sánh$S(x)$tại$x=0$,$x=25$,$x=50$.
   $S(0)=0$,$S(25)=25*25=625$,$S(50)=0$.
6. Vậy diện tích lớn nhất khi$x=y=25$(hình vuông).

8. Bài tập thực hành

Học sinh tự luyện tập các bài sau:

1. Một sợi dây dài 24m được dùng để tạo thành hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. Tìm các kích thước hình chữ nhật đó.
2. Từ một tấm bìa hình chữ nhật kích thước$16$cm x$10$cm, người ta cắt các hình vuông ở bốn góc để làm hộp không nắp. Tìm kích thước hình vuông để thể tích hộp lập lớn nhất.
3. Một hình chữ nhật có diện tích không đổi là $36$m$^2$, hãy tìm các kích thước để chu vi nhỏ nhất.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra điều kiện xác định của biến số trước và sau khi giải.
• So sánh giá trị hàm tại điểm tới hạn và các điểm biên của miền xác định.
• Đừng quên trả lời bằng lời sau khi tìm được giá trị tối ưu.
• Cảnh giác với trường hợp$f'(x)=0$nhưng nghiệm không phù hợp điều kiện thực tế.
• Cẩn thận khi xây dựng biểu thức đại lượng - nên vẽ hình minh họa.