Blog

Chiến Lược Toàn Diện: Cách giải bài toán Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng lớp 12

T
Tác giả
5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

Chiến Lược Toàn Diện: Cách giải bài toán Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng lớp 12

1. Giới thiệu về bài toán và tầm quan trọng

Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng là một trong những kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt đối với Hình học không gian. Đây là kỹ năng nền tảng để giải quyết các bài toán về vị trí, giao điểm, song song, vuông góc, đồng thời xuất hiện thường xuyên trong kỳ thi THPT Quốc gia. Việc thành thạo cách giải bài toán này giúp học sinh nâng cao tư duy hình học cũng như rèn luyện kỹ năng vận dụng các công thức toán học một cách linh hoạt.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán

- Dữ liệu đầu vào thường là: điểm qua, vectơ chỉ phương hoặc vectơ pháp tuyến.
- Có thể là viết phương trình đường thẳng trong không gian hoặc trong mặt phẳng.
- Có hai dạng phương trình:
• Phương trình tham số (dạng tự do, dùng tham số tt).
• Phương trình chính tắc (dạng loại trừ tham số).

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

  1. Xác định đúng dữ kiện đề bài (tọa độ điểm, vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến).
  2. Lựa chọn dạng phương trình cần lập (tham số hoặc chính tắc).
  3. Xây dựng công thức dựa trên dữ kiện cho và biến đổi linh hoạt giữa các dạng phương trình.
  4. Kiểm tra lại các bước tính toán để hạn chế sai sót.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Bước 1. Xác định điểm đi qua và vectơ chỉ phương

Giả sử đường thẳngdd đi qua điểmA(x0,y0,z0)A(x_0, y_0, z_0)và có vectơ chỉ phươngu=(a,b,c)\vec{u}=(a, b, c).

Bước 2. Viết phương trình tham số

Phương trình tham số của đường thẳngddlà:

Bước 3. Viết phương trình chính tắc

Loại bỏ tham số tt, ta được phương trình chính tắc:

Ví dụ minh họa

Cho đường thẳng đi qua điểmA(1,2,3)A(1, -2, 3)và có vectơ chỉ phươngu=(2,1,1)\vec{u} = (2, 1, -1). Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng này.

- Phương trình tham số:

- Phương trình chính tắc:

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • Công thức phương trình tham số (không gian):
    {x=x0+aty=y0+btz=z0+ct<s>,</s>tR\begin{cases}
    x = x_0 + at \\y = y_0 + bt \\z = z_0 + ct
    \\\end{cases} <s>,</s> t \in \mathbb{R}
  • Công thức phương trình chính tắc (không gian):
    xx0a=yy0b=zz0c\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}
  • Nếu bài toán cho hai điểmA(x1,y1,z1)A(x_1, y_1, z_1)B(x2,y2,z2)B(x_2, y_2, z_2):
    - Vectơ chỉ phươngu=(x2x1,y2y1,z2z1)\vec{u} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)
  • Phương trình đường thẳng trên mặt phẳngOxyOxy:
    - Tham số:
    {x=x0+aty=y0+bt\begin{cases}x = x_0 + at \\y = y_0 + bt\\\end{cases}

    - Chính tắc:xx0a=yy0b\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b}

6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

  • Bài toán cho hai điểm: Tính vectơ chỉ phương rồi thực hiện các bước như trên.
  • Bài toán cho đường thẳng dạng khác (tổng quát): Chuyển về dạng tham số hoặc chính tắc trước nếu cần.
  • Bài toán yêu cầu tìm phương trình đi qua điểm cắt nhau của hai đường thẳng: Tìm giao điểm, xác định vectơ chỉ phương phù hợp.
  • Cho điểm và đường thẳng song song/vuông góc: Xác định vectơ chỉ phương theo điều kiện song song/vuông góc.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập mẫu 1

Cho hai điểmA(0,1,2)A(0,1,2)B(2,3,2)B(2,3,-2). Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳngABAB.

+ Bước 1. Xác định vectơ chỉ phương:AB=(20,31,22)=(2,2,4)\vec{AB} = (2-0, 3-1, -2-2) = (2, 2, -4).

+ Bước 2. Phương trình tham số:

{x=0+2ty=1+2tz=24t\begin{cases} x = 0 + 2t \\ y = 1 + 2t \\ z = 2 - 4t \\\end{cases}
, t\in\mathbb{R}

+ Bước 3. Phương trình chính tắc:
<br/>x2=y12=z24<br/><br />\frac{x}{2} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{-4}<br />

8. Bài tập thực hành

  • Bài 1. Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua điểmM(1,0,3)M(1,0,3)và nhận vectơ chỉ phươngu=(3,1,2)\vec{u} = (3,-1,2).
  • Bài 2. Cho hai điểmA(2,1,4)A(-2,1,4),B(0,3,2)B(0,3,2). Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳngABAB.
  • Bài 3. Trong mặt phẳngOxyOxy, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi quaC(1,2)C(1,2)và vectơ chỉ phương(2,3)(2,-3).
  • Bài 4. Cho đường thẳngdd đi qua điểmP(0,0,0)P(0,0,0)và song song với vectơ v=(1,2,5)\vec{v} = (1,2,-5). Viết hai dạng phương trình củadd.

9. Các mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

  • Cẩn thận dấu âm khi xác định vectơ chỉ phương và tính toán.
  • Luôn chọn điểm đi qua là điểm có số liệu tính toán đơn giản nhất.
  • Không để mẫu số trong phương trình chính tắc bằng00.
  • Nếu có thể, kiểm tra nghiệm bằng cách thay lại vào cả hai dạng phương trình.
  • Phân biệt rõ vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến.

Tổng kết

Trên đây là toàn bộ chiến lược, các bước giải cũng như lưu ý giúp bạn làm chủ cách giải bài toán viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng lớp 12. Đừng quên luyện tập thường xuyên với các bài tập có lời giải chi tiết trên để vững vàng kiến thức và làm tốt mọi đề thi!

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".